Derivada de (x/(x^2-1)+ln((x-1)/(x+1)))*(1/16)

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. diferenciamos $\frac{x}{x^{2} - 1} + \log{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = x^{2} - 1$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $x^{2} - 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Como resultado de: $2 x$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- x^{2} - 1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}$

      2. Sustituimos $u = \frac{x - 1}{x + 1}$.

      3. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x - 1}{x + 1}$:

         1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = x - 1$ y $g{\left(x \right)} = x + 1$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. diferenciamos $x - 1$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Como resultado de: $1$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Como resultado de: $1$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{2 \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}$

      Como resultado de: $\frac{- x^{2} - 1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}$

   Entonces, como resultado: $\frac{- x^{2} - 1}{16 \left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{x + 1}{8 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} - 3}{16 \left(x^{4} - 2 x^{2} + 1\right)}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} - 3}{16 \left(x^{4} - 2 x^{2} + 1\right)}$