Derivada de (xlnx-x+1)/(ln(x-1))

Solución

Ha introducido [src]

x*log(x) - x + 1
----------------
   log(x - 1)

$$\frac{\left(x \log{\left(x \right)} - x\right) + 1}{\log{\left(x - 1 \right)}}$$

(x*log(x) - x + 1)/log(x - 1)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)} - x + 1$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(x - 1 \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x \log{\left(x \right)} - x + 1$ miembro por miembro:
  1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Entonces, como resultado: $-1$
  3. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
    Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$
  Como resultado de: $\log{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = x - 1$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)$ :
  1. diferenciamos $x - 1$ miembro por miembro:
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.
    Como resultado de: $1$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{1}{x - 1}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\log{\left(x \right)} \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{x \log{\left(x \right)} - x + 1}{x - 1}}{\log{\left(x - 1 \right)}^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{- x \log{\left(x \right)} + x + \left(x - 1\right) \log{\left(x \right)} \log{\left(x - 1 \right)} - 1}{\left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}^{2}}$

Respuesta:

$\frac{- x \log{\left(x \right)} + x + \left(x - 1\right) \log{\left(x \right)} \log{\left(x - 1 \right)} - 1}{\left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}^{2}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

  log(x)       x*log(x) - x + 1 
---------- - -------------------
log(x - 1)              2       
             (x - 1)*log (x - 1)

$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(x - 1 \right)}} - \frac{\left(x \log{\left(x \right)} - x\right) + 1}{\left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}^{2}}$$

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Segunda derivada [src]

                           /         2     \                   
                           |1 + -----------|*(1 - x + x*log(x))
1         2*log(x)         \    log(-1 + x)/                   
- - -------------------- + ------------------------------------
x   (-1 + x)*log(-1 + x)                  2                    
                                  (-1 + x) *log(-1 + x)        
---------------------------------------------------------------
                          log(-1 + x)

$$\frac{\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x - 1 \right)}}\right) \left(x \log{\left(x \right)} - x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)}} - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}} + \frac{1}{x}}{\log{\left(x - 1 \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

                                                     /         3             3      \                             
                                2*(1 - x + x*log(x))*|1 + ----------- + ------------|     /         2     \       
                                                     |    log(-1 + x)      2        |   3*|1 + -----------|*log(x)
  1              3                                   \                  log (-1 + x)/     \    log(-1 + x)/       
- -- - ---------------------- - ----------------------------------------------------- + --------------------------
   2   x*(-1 + x)*log(-1 + x)                           3                                         2               
  x                                             (-1 + x) *log(-1 + x)                     (-1 + x) *log(-1 + x)   
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   log(-1 + x)

$$\frac{\frac{3 \left(1 + \frac{2}{\log{\left(x - 1 \right)}}\right) \log{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(x - 1 \right)}} - \frac{2 \left(1 + \frac{3}{\log{\left(x - 1 \right)}} + \frac{3}{\log{\left(x - 1 \right)}^{2}}\right) \left(x \log{\left(x \right)} - x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{3} \log{\left(x - 1 \right)}} - \frac{3}{x \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}} - \frac{1}{x^{2}}}{\log{\left(x - 1 \right)}}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

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Gráfico:

Definida a trozos:

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