Derivada de y=(x*sin(x)+cos(x))/x

Solución

Ha introducido [src]

x*sin(x) + cos(x)
-----------------
        x

$$\frac{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}$$

(x*sin(x) + cos(x))/x

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Como resultado de: $x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $x \cos{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{x^{2} \cos{\left(x \right)} - x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$
Simplificamos:

$\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$

Respuesta:

$\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

  x*sin(x) + cos(x)         
- ----------------- + cos(x)
           2                
          x

$$\cos{\left(x \right)} - \frac{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                     2*(x*sin(x) + cos(x))
-cos(x) - x*sin(x) + ---------------------
                                2         
                               x          
------------------------------------------
                    x

$$\frac{- x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{x^{2}}}{x}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                       6*(x*sin(x) + cos(x))   3*(-cos(x) + x*sin(x))   6*cos(x)
-2*sin(x) - x*cos(x) - --------------------- + ---------------------- + --------
                                  3                      x                 x    
                                 x                                              
--------------------------------------------------------------------------------
                                       x

$$\frac{- x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)}{x} + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{6 \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{x^{3}}}{x}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Gráfico:

Definida a trozos:

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