Derivada de x*exp^(-2*x)(cos(5x)+sin(5x))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(\sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}\right)$ y $g{\left(x \right)} = e^{2 x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $\sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}$ miembro por miembro:

         1. Sustituimos $u = 5 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $5$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

         4. Sustituimos $u = 5 x$.

         5. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $5$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $5 \cos{\left(5 x \right)}$

         Como resultado de: $- 5 \sin{\left(5 x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}$

      Como resultado de: $x \left(- 5 \sin{\left(5 x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}\right) + \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 e^{2 x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- 2 x \left(\sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{2 x} + \left(x \left(- 5 \sin{\left(5 x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}\right) + \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{2 x}\right) e^{- 4 x}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 7 x \sin{\left(5 x \right)} + 3 x \cos{\left(5 x \right)} + \sqrt{2} \sin{\left(5 x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{- 2 x}$

Respuesta:

$\left(- 7 x \sin{\left(5 x \right)} + 3 x \cos{\left(5 x \right)} + \sqrt{2} \sin{\left(5 x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{- 2 x}$