Derivada de √x/ln^2x

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 \log{\left(x \right)}}{x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2 \sqrt{x}} - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}}}{\log{\left(x \right)}^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\log{\left(x \right)} - 4}{2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)}^{3}}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x \right)} - 4}{2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)}^{3}}$