Derivada de x*(sin(4*x)+cos(4*x))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = 4 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $4 \cos{\left(4 x \right)}$

      4. Sustituimos $u = 4 x$.

      5. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 4 \sin{\left(4 x \right)}$

      Como resultado de: $- 4 \sin{\left(4 x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)}$

   Como resultado de: $x \left(- 4 \sin{\left(4 x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)}\right) + \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $- 4 x \left(\sin{\left(4 x \right)} - \cos{\left(4 x \right)}\right) + \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$

Respuesta:

$- 4 x \left(\sin{\left(4 x \right)} - \cos{\left(4 x \right)}\right) + \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$