Derivada de y=tan^4*5x*sin(2x/5)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x \tan^{4}{\left(5 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $\tan^{4}{\left(5 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \frac{2 x}{5}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{2 x}{5}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Entonces, como resultado: $\frac{2}{5}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{5}$

   Como resultado de: $\frac{2 x \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)} \tan^{4}{\left(5 \right)}}{5} + \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)} \tan^{4}{\left(5 \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(\frac{2 x \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{5} + \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}\right) \tan^{4}{\left(5 \right)}$

Respuesta:

$\left(\frac{2 x \cos{\left(\frac{2 x}{5} \right)}}{5} + \sin{\left(\frac{2 x}{5} \right)}\right) \tan^{4}{\left(5 \right)}$