Derivada de y'''=2×cos(x)/sin^3(x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Entonces, como resultado: $- 2 \sin{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 2 \sin^{4}{\left(x \right)} - 6 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{6}{\left(x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 3\right)}{\sin^{4}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 3\right)}{\sin^{4}{\left(x \right)}}$