Derivada de ((1/2)-x)*cos(x)+sin(x)

1. diferenciamos $\left(\frac{1}{2} - x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \left(1 - 2 x\right) \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 2$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = 1 - 2 x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $1 - 2 x$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-2$

            Como resultado de: $-2$

         $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $- \left(1 - 2 x\right) \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $- \frac{\left(1 - 2 x\right) \sin{\left(x \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)}$

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $- \frac{\left(1 - 2 x\right) \sin{\left(x \right)}}{2}$

2. Simplificamos:

   $\left(x - \frac{1}{2}\right) \sin{\left(x \right)}$

Respuesta:

$\left(x - \frac{1}{2}\right) \sin{\left(x \right)}$