Sr Examen
Ecuación diferencial yln(x)=xdy/dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
log(x)*y(x) = x*--(y(x))
dx
$$y{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
y*log(x) = x*y'
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$- x$$
Recibimos la ecuación:
$$- \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x} = - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$P{\left(x \right)} = - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx = - \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}}$$
$$- x$$
Recibimos la ecuación:
$$- \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x} = - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = 0,
donde
$$P{\left(x \right)} = - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx = - \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}}$$
Respuesta
[src]
2
log (x)
-------
2
y(x) = C1*e
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral