Sr Examen
Ecuación diferencial (x(dy/dx)+(1+x)y)d/dx=6
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
d*x*--(y(x))
d*y(x) dx d*x*y(x)
------ + ------------ + -------- = 6
2 2 2
dx dx dx
$$\frac{d x y{\left(x \right)}}{dx^{2}} + \frac{d x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx^{2}} + \frac{d y{\left(x \right)}}{dx^{2}} = 6$$
d*x*y/dx^2 + d*x*y'/dx^2 + d*y/dx^2 = 6
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d x y{\left(x \right)}}{dx^{2}} + \frac{d x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx^{2}} + \frac{d y{\left(x \right)}}{dx^{2}} - 6 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$\frac{d x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x}}{dx^{2}} + \frac{d u{\left(x \right)}}{dx^{2}} + \frac{d u{\left(x \right)}}{dx^{2} x} - 6 = 0$$
o
$$\frac{d u{\left(x \right)}}{dx^{2}} + \frac{d \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{dx^{2}} - 6 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u{\left(x \right)} - \frac{6 dx^{2}}{d}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u{\left(x \right)} - \frac{6 dx^{2}}{d}$$
obtendremos
$$\frac{d \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{d u{\left(x \right)} - 6 dx^{2}} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{d dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{d u{\left(x \right)} - 6 dx^{2}} = - dx$$
o
$$\frac{d du}{d u{\left(x \right)} - 6 dx^{2}} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{d}{d u - 6 dx^{2}}\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(d u - 6 dx^{2} \right)} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{6 dx^{2} + \frac{e^{C_{1} dx^{2} - x}}{dx^{2}}}{d}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{6 dx^{2} + \frac{e^{C_{1} dx^{2} - x}}{dx^{2}}}{d x}$$
$$\frac{d x y{\left(x \right)}}{dx^{2}} + \frac{d x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dx^{2}} + \frac{d y{\left(x \right)}}{dx^{2}} - 6 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$\frac{d x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x}}{dx^{2}} + \frac{d u{\left(x \right)}}{dx^{2}} + \frac{d u{\left(x \right)}}{dx^{2} x} - 6 = 0$$
o
$$\frac{d u{\left(x \right)}}{dx^{2}} + \frac{d \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{dx^{2}} - 6 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u{\left(x \right)} - \frac{6 dx^{2}}{d}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u{\left(x \right)} - \frac{6 dx^{2}}{d}$$
obtendremos
$$\frac{d \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{d u{\left(x \right)} - 6 dx^{2}} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{d dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{d u{\left(x \right)} - 6 dx^{2}} = - dx$$
o
$$\frac{d du}{d u{\left(x \right)} - 6 dx^{2}} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{d}{d u - 6 dx^{2}}\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(d u - 6 dx^{2} \right)} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{6 dx^{2} + \frac{e^{C_{1} dx^{2} - x}}{dx^{2}}}{d}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{6 dx^{2} + \frac{e^{C_{1} dx^{2} - x}}{dx^{2}}}{d x}$$
Respuesta
[src]
/ // 2 x \\
| ||6*dx *e ||
| ||-------- for d != 0||
| || d || -x
|C1 + |< ||*e
| || 2 ||
| ||6*x*dx ||
| ||------- otherwise ||
\ \\ d //
y(x) = ----------------------------------
x
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(C_{1} + \begin{cases} \frac{6 dx^{2} e^{x}}{d} & \text{for}\: d \neq 0 \\\frac{6 dx^{2} x}{d} & \text{otherwise} \end{cases}\right) e^{- x}}{x}$$
Clasificación
1st linear
Bernoulli
almost linear
lie group
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral