Sr Examen
Ecuación diferencial dy*e^(3*x)/dx=sin(y)^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 3*x 2 --(y(x))*e = sin (y(x)) dx
$$e^{3 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
exp(3*x)*y' = sin(y)^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$e^{3 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = e^{- 3 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = dx e^{- 3 x}$$
o
$$\frac{dy}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = dx e^{- 3 x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int e^{- 3 x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const - \frac{e^{- 3 x}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- C_{1} + \frac{\sqrt{9 C_{1}^{2} e^{6 x} - 6 C_{1} e^{3 x} + 9 e^{6 x} + 1} e^{- 3 x}}{3} + \frac{e^{- 3 x}}{3} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(C_{1} + \frac{\sqrt{9 C_{1}^{2} e^{6 x} - 6 C_{1} e^{3 x} + 9 e^{6 x} + 1} e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} \right)}$$
$$e^{3 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = e^{- 3 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = e^{- 3 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = dx e^{- 3 x}$$
o
$$\frac{dy}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = dx e^{- 3 x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int e^{- 3 x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const - \frac{e^{- 3 x}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- C_{1} + \frac{\sqrt{9 C_{1}^{2} e^{6 x} - 6 C_{1} e^{3 x} + 9 e^{6 x} + 1} e^{- 3 x}}{3} + \frac{e^{- 3 x}}{3} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(C_{1} + \frac{\sqrt{9 C_{1}^{2} e^{6 x} - 6 C_{1} e^{3 x} + 9 e^{6 x} + 1} e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ _____________________________________ \
| -3*x / 6*x 3*x 2 6*x -3*x|
| e \/ 1 + 9*e - 6*C1*e + 9*C1 *e *e |
y(x) = -2*atan|-C1 + ----- + ----------------------------------------------|
\ 3 3 /
$$y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- C_{1} + \frac{\sqrt{9 C_{1}^{2} e^{6 x} - 6 C_{1} e^{3 x} + 9 e^{6 x} + 1} e^{- 3 x}}{3} + \frac{e^{- 3 x}}{3} \right)}$$
/ _____________________________________ \
| -3*x / 6*x 3*x 2 6*x -3*x|
| e \/ 1 + 9*e - 6*C1*e + 9*C1 *e *e |
y(x) = 2*atan|C1 - ----- + ----------------------------------------------|
\ 3 3 /
$$y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(C_{1} + \frac{\sqrt{9 C_{1}^{2} e^{6 x} - 6 C_{1} e^{3 x} + 9 e^{6 x} + 1} e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} \right)}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral