Tenemos la ecuación:
$$x^{2} y{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x y^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$x u{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{u^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{u{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}}{x} = 0$$
o
$$u{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{u{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\tan{\left(x \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables x y u ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{dx \tan{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$du = - \frac{dx \tan{\left(x \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int 1\, du = \int \left(- \frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con uSolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$u = Const - \int \frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = C_{1} - \int \frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = 0$$
$$y2 = y(x) = \frac{C_{1} - \int \frac{\tan{\left(x \right)}}{x}\, dx}{x}$$