Sr Examen
Ecuación diferencial y"+6y'+9y=e^(4x)((82x-126)cos(1x)+(-76-182)sin(1x))
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d 4*x
6*--(y(x)) + 9*y(x) + ---(y(x)) = (-258*sin(x) + (-126 + 82*x)*cos(x))*e
dx 2
dx
$$9 y{\left(x \right)} + 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\left(82 x - 126\right) \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)}\right) e^{4 x}$$
9*y + 6*y' + y'' = ((82*x - 126)*cos(x) - 258*sin(x))*exp(4*x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$9 y{\left(x \right)} + 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\left(82 x - 126\right) \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)}\right) e^{4 x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 6$$
$$q = 9$$
$$s = - \left(\left(82 x - 126\right) \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)}\right) e^{4 x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 6 k + 9 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = -3$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = -3$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} x e^{- 3 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-3*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(-3*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(82 x - 126\right) \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)}\right) e^{4 x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 3 x} = \left(\left(82 x - 126\right) \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)}\right) e^{4 x}$$
o
$$x e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 3 e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(\left(82 x - 126\right) \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)}\right) e^{4 x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 2 x \left(- 41 x \cos{\left(x \right)} + 129 \sin{\left(x \right)} + 63 \cos{\left(x \right)}\right) e^{7 x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(82 x \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)} - 126 \cos{\left(x \right)}\right) e^{7 x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int 2 x \left(- 41 x \cos{\left(x \right)} + 129 \sin{\left(x \right)} + 63 \cos{\left(x \right)}\right) e^{7 x}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(82 x \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)} - 126 \cos{\left(x \right)}\right) e^{7 x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{41 x^{2} e^{7 x} \sin{\left(x \right)}}{25} - \frac{287 x^{2} e^{7 x} \cos{\left(x \right)}}{25} + \frac{24724 x e^{7 x} \sin{\left(x \right)}}{625} + \frac{9768 x e^{7 x} \cos{\left(x \right)}}{625} - \frac{91418 e^{7 x} \sin{\left(x \right)}}{15625} - \frac{21826 e^{7 x} \cos{\left(x \right)}}{15625}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{41 x e^{7 x} \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{287 x e^{7 x} \cos{\left(x \right)}}{25} - \frac{24437 e^{7 x} \sin{\left(x \right)}}{625} - \frac{8784 e^{7 x} \cos{\left(x \right)}}{625}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 3 x} + C_{4} x e^{- 3 x} + \frac{287 x e^{4 x} \sin{\left(x \right)}}{625} + \frac{984 x e^{4 x} \cos{\left(x \right)}}{625} - \frac{91418 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}}{15625} - \frac{21826 e^{4 x} \cos{\left(x \right)}}{15625}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$9 y{\left(x \right)} + 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\left(82 x - 126\right) \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)}\right) e^{4 x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 6$$
$$q = 9$$
$$s = - \left(\left(82 x - 126\right) \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)}\right) e^{4 x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 6 k + 9 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = -3$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = -3$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} x e^{- 3 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-3*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(-3*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(82 x - 126\right) \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)}\right) e^{4 x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 3 x} = \left(\left(82 x - 126\right) \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)}\right) e^{4 x}$$
o
$$x e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 3 e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(\left(82 x - 126\right) \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)}\right) e^{4 x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 2 x \left(- 41 x \cos{\left(x \right)} + 129 \sin{\left(x \right)} + 63 \cos{\left(x \right)}\right) e^{7 x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(82 x \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)} - 126 \cos{\left(x \right)}\right) e^{7 x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int 2 x \left(- 41 x \cos{\left(x \right)} + 129 \sin{\left(x \right)} + 63 \cos{\left(x \right)}\right) e^{7 x}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(82 x \cos{\left(x \right)} - 258 \sin{\left(x \right)} - 126 \cos{\left(x \right)}\right) e^{7 x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{41 x^{2} e^{7 x} \sin{\left(x \right)}}{25} - \frac{287 x^{2} e^{7 x} \cos{\left(x \right)}}{25} + \frac{24724 x e^{7 x} \sin{\left(x \right)}}{625} + \frac{9768 x e^{7 x} \cos{\left(x \right)}}{625} - \frac{91418 e^{7 x} \sin{\left(x \right)}}{15625} - \frac{21826 e^{7 x} \cos{\left(x \right)}}{15625}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{41 x e^{7 x} \sin{\left(x \right)}}{25} + \frac{287 x e^{7 x} \cos{\left(x \right)}}{25} - \frac{24437 e^{7 x} \sin{\left(x \right)}}{625} - \frac{8784 e^{7 x} \cos{\left(x \right)}}{625}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 3 x} + C_{4} x e^{- 3 x} + \frac{287 x e^{4 x} \sin{\left(x \right)}}{625} + \frac{984 x e^{4 x} \cos{\left(x \right)}}{625} - \frac{91418 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}}{15625} - \frac{21826 e^{4 x} \cos{\left(x \right)}}{15625}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
4*x 4*x 4*x 4*x
-3*x 91418*e *sin(x) 21826*cos(x)*e 287*x*e *sin(x) 984*x*cos(x)*e
y(x) = (C1 + C2*x)*e - ----------------- - ----------------- + ----------------- + -----------------
15625 15625 625 625
$$y{\left(x \right)} = \frac{287 x e^{4 x} \sin{\left(x \right)}}{625} + \frac{984 x e^{4 x} \cos{\left(x \right)}}{625} + \left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{- 3 x} - \frac{91418 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}}{15625} - \frac{21826 e^{4 x} \cos{\left(x \right)}}{15625}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral