Sr Examen
Ecuación diferencial xdy-(y+xy^3*(1+log(x)))dx=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 3 3
-y(x) + x*--(y(x)) - x*y (x) - x*y (x)*log(x) = 0
dx
$$- x y^{3}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} - x y^{3}{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
-x*y^3*log(x) - x*y^3 + x*y' - y = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x y^{3}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} - x y^{3}{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x^{4} u^{3}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} - x^{4} u^{3}{\left(x \right)} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$- x^{4} u^{3}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} - x^{4} u^{3}{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x^{2} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{3}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u^{3}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{3}{\left(x \right)}} = x^{2} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{3}{\left(x \right)}} = dx x^{2} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$$
o
$$\frac{du}{u^{3}{\left(x \right)}} = dx x^{2} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{u^{3}}\, du = \int x^{2} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{2 u^{2}} = Const + \frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x^{3}}{9}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 3 x^{3} \log{\left(x \right)} + 2 x^{3}}}}{2}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 3 x^{3} \log{\left(x \right)} + 2 x^{3}}}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{3 \sqrt{2} x \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 3 x^{3} \log{\left(x \right)} + 2 x^{3}}}}{2}$$
$$y2 = y(x) = \frac{3 \sqrt{2} x \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 3 x^{3} \log{\left(x \right)} + 2 x^{3}}}}{2}$$
$$- x y^{3}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} - x y^{3}{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x^{4} u^{3}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} - x^{4} u^{3}{\left(x \right)} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$- x^{4} u^{3}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} - x^{4} u^{3}{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x^{2} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{3}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u^{3}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{3}{\left(x \right)}} = x^{2} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{3}{\left(x \right)}} = dx x^{2} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$$
o
$$\frac{du}{u^{3}{\left(x \right)}} = dx x^{2} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{u^{3}}\, du = \int x^{2} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{2 u^{2}} = Const + \frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} + \frac{2 x^{3}}{9}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 3 x^{3} \log{\left(x \right)} + 2 x^{3}}}}{2}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 3 x^{3} \log{\left(x \right)} + 2 x^{3}}}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{3 \sqrt{2} x \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 3 x^{3} \log{\left(x \right)} + 2 x^{3}}}}{2}$$
$$y2 = y(x) = \frac{3 \sqrt{2} x \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 3 x^{3} \log{\left(x \right)} + 2 x^{3}}}}{2}$$
Respuesta
[src]
_________________________
/ -1
y(x) = -3*x* / -----------------------
/ 3 3
\/ C1 + 4*x + 6*x *log(x)
$$y{\left(x \right)} = - 3 x \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 6 x^{3} \log{\left(x \right)} + 4 x^{3}}}$$
_________________________
/ -1
y(x) = 3*x* / -----------------------
/ 3 3
\/ C1 + 4*x + 6*x *log(x)
$$y{\left(x \right)} = 3 x \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 6 x^{3} \log{\left(x \right)} + 4 x^{3}}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
Bernoulli
lie group
Bernoulli Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)