Sr Examen
Ecuación diferencial csc(y)*dx+sec^2(x)*dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d
sec (x)*--(y(x)) + csc(y(x)) = 0
dx
$$\csc{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
csc(y) + sec(x)^2*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\csc{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \csc{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\csc{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \cos^{2}{\left(x \right)}$$
o
$$dy \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} = - dx \cos^{2}{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \sin{\left(y \right)}\, dy = \int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \cos{\left(y \right)} = Const - \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(C_{1} + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(C_{1} + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} \right)}$$
$$\csc{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \csc{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\csc{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \cos^{2}{\left(x \right)}$$
o
$$dy \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} = - dx \cos^{2}{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \sin{\left(y \right)}\, dy = \int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \cos{\left(y \right)} = Const - \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(C_{1} + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(C_{1} + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ x sin(2*x)\
y(x) = - acos|C1 + - + --------| + 2*pi
\ 2 4 /
$$y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(C_{1} + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} \right)} + 2 \pi$$
/ x sin(2*x)\
y(x) = acos|C1 + - + --------|
\ 2 4 /
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(C_{1} + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} \right)}$$
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral