Ecuación diferencial xdy-(y-tg(y/x))dx=0

Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} + \tan{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{x} \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} + \tan{\left(u{\left(x \right)} \right)} = 0$$
o
$$x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \tan{\left(u{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \tan{\left(u{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\tan{\left(u{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\tan{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\tan{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$\frac{du}{\tan{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\tan{\left(u \right)}}\, du = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)} = Const + \frac{1}{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{1}{x}} \right)}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{1}{x}} \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \left(\pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{1}{x}} \right)}\right)$$
$$y2 = y(x) = x \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{1}{x}} \right)}$$