Sr Examen
Ecuación diferencial (dy/dx)=e^(3x+2y)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2*y(x) + 3*x --(y(x)) = e dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{3 x + 2 y{\left(x \right)}}$$
y' = exp(3*x + 2*y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- e^{3 x + 2 y{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 3 x + 2 y{\left(x \right)}$$
y porque
$$2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} - \frac{3}{2}$$
sustituimos
$$- e^{3 x} e^{- 3 x + u{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} \left(- \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2}\right) = 0$$
o
$$- e^{u{\left(x \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} - \frac{3}{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - 2 e^{u{\left(x \right)}} - 3$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- 2 e^{u{\left(x \right)}} - 3$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 e^{u{\left(x \right)}} + 3} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 e^{u{\left(x \right)}} + 3} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{2 e^{u{\left(x \right)}} + 3} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{2 e^{u} + 3}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{3} + \frac{\log{\left(e^{u} + \frac{3}{2} \right)}}{3} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = x - \frac{u{\left(x \right)}}{3} + \frac{\log{\left(e^{u{\left(x \right)}} + \frac{3}{2} \right)}}{3} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2}$$
$$y1 = y(x) = \frac{C_{1}}{2} - \frac{3 x}{2}$$
$$- e^{3 x + 2 y{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 3 x + 2 y{\left(x \right)}$$
y porque
$$2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 3 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} - \frac{3}{2}$$
sustituimos
$$- e^{3 x} e^{- 3 x + u{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} \left(- \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2}\right) = 0$$
o
$$- e^{u{\left(x \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} - \frac{3}{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - 2 e^{u{\left(x \right)}} - 3$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- 2 e^{u{\left(x \right)}} - 3$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 e^{u{\left(x \right)}} + 3} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 e^{u{\left(x \right)}} + 3} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{2 e^{u{\left(x \right)}} + 3} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{2 e^{u} + 3}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{3} + \frac{\log{\left(e^{u} + \frac{3}{2} \right)}}{3} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = x - \frac{u{\left(x \right)}}{3} + \frac{\log{\left(e^{u{\left(x \right)}} + \frac{3}{2} \right)}}{3} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - \frac{3 x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{2}$$
$$y1 = y(x) = \frac{C_{1}}{2} - \frac{3 x}{2}$$
Respuesta
[src]
/ -1 \
log|---------|
| 3*x|
log(6) \C1 + e /
y(x) = ------ + -------------- - log(2)
2 2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{C_{1} + e^{3 x}} \right)}}{2} - \log{\left(2 \right)} + \frac{\log{\left(6 \right)}}{2}$$
/ ___________\
log(6) | / -1 |
y(x) = ------ - log(2) + log|- / --------- |
2 | / 3*x |
\ \/ C1 + e /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(- \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + e^{3 x}}} \right)} - \log{\left(2 \right)} + \frac{\log{\left(6 \right)}}{2}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral