Ecuación diferencial dx/dt=ax-bx^2

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = a x{\left(t \right)} - b x^{2}{\left(t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = \left(a - b x{\left(t \right)}\right) x{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$\left(a - b x{\left(t \right)}\right) x{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(a - b x{\left(t \right)}\right) x{\left(t \right)}} = 1$$
Con esto hemos separado las variables t y x.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(a - b x{\left(t \right)}\right) x{\left(t \right)}} = dt$$
o
$$\frac{dx}{\left(a - b x{\left(t \right)}\right) x{\left(t \right)}} = dt$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{x \left(a - b x\right)}\, dx = \int 1\, dt$$
Solución detallada de la integral con x
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$- \frac{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(- \frac{a}{b} + x \right)}}{a} = Const + t$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = \frac{a e^{a \left(C_{1} + t\right)}}{b \left(e^{a \left(C_{1} + t\right)} - 1\right)}$$