Ecuación diferencial (x-y)dx=(y-x)dy

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

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Solución

Ha introducido [src]

           d                 d       
x - y(x) = --(y(x))*y(x) - x*--(y(x))
           dx                dx

$$x - y{\left(x \right)} = - x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$

x - y = -x*y' + y*y'

Solución detallada

Tenemos la ecuación:
$$- x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x - y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables x y y ya están separadas.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx$$
o
$$dy = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int 1\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$

Tomemos estas integrales
$$y = Const - x$$

Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} - x$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = x$$

Respuesta [src]