Sr Examen
Otras calculadoras
- Resolución de la ecuación diferencial con reemplazo paso a paso
- Ecuaciones con diferenciales completas paso a paso
- Ecuaciones diferenciales de 2 orden, homogéneas y lineales paso a paso
- Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer orden paso a paso
- Ecuaciones diferenciales de variables separables paso a paso
- Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden paso a paso
- Convergencia de la serie – estudio en línea
- Solución del problema de Cauchy en línea
-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación tan(y)*y'=sin(x)
- Ecuación dy=3dx
- Ecuación xydy-(x^2+y^2)dx=0
- Ecuación y''-4y'+8y=0
- Derivada de:
-
dy/dx
-
Expresiones idénticas
- dy/dx=exp(2x+3y)
- dy dividir por dx es igual a exponente de (2x más 3y)
- dy/dx=exp2x+3y
- dy dividir por dx=exp(2x+3y)
-
Expresiones semejantes
- dy/dx=exp(2x-3y)
-
Expresiones con funciones
- dy
- dy=3dx
- dy/dx=10y^0.5
- dy/dx=(cos(x)^2x)(cos(x)^22y)
- dy/dx=y^3/(2*x^2)
- dy=4x^3dx
- dx
- dx/dt=x*(-a*x+b)
- dx*(4*x^3+y-2*x+y^3)+dy*(x^4+3*x*y^2-3*y^2)=0
- dx/dt=tln(tx)
- dx/(8x-2)^7
- dx/dy+(3/y)x=2y
- Exponente exp
- exp(x)*y'=y^2*(1+exp(x))
- exp(4x)y'-exp(2x)y=1
- exp(y)*(1+x^2)dy-2*x*(1+exp(y))dx=0
- exp(x)y'=1
- expydx+(xexpy-2y)dy=0
Ecuación diferencial dy/dx=exp(2x+3y)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2*x + 3*y(x) --(y(x)) = e dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{2 x + 3 y{\left(x \right)}}$$
y' = exp(2*x + 3*y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- e^{2 x + 3 y{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 2 x + 3 y{\left(x \right)}$$
y porque
$$3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3} - \frac{2}{3}$$
sustituimos
$$- e^{2 x} e^{- 2 x + u{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} \left(- \frac{2 x}{3} + \frac{u{\left(x \right)}}{3}\right) = 0$$
o
$$- e^{u{\left(x \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3} - \frac{2}{3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - 3 e^{u{\left(x \right)}} - 2$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- 3 e^{u{\left(x \right)}} - 2$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3 e^{u{\left(x \right)}} + 2} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3 e^{u{\left(x \right)}} + 2} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{3 e^{u{\left(x \right)}} + 2} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{3 e^{u} + 2}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{2} + \frac{\log{\left(e^{u} + \frac{2}{3} \right)}}{2} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = x - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(e^{u{\left(x \right)}} + \frac{2}{3} \right)}}{2} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{3} + \frac{u{\left(x \right)}}{3}$$
$$y1 = y(x) = \frac{C_{1}}{3} - \frac{2 x}{3}$$
$$- e^{2 x + 3 y{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 2 x + 3 y{\left(x \right)}$$
y porque
$$3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3} - \frac{2}{3}$$
sustituimos
$$- e^{2 x} e^{- 2 x + u{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} \left(- \frac{2 x}{3} + \frac{u{\left(x \right)}}{3}\right) = 0$$
o
$$- e^{u{\left(x \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3} - \frac{2}{3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - 3 e^{u{\left(x \right)}} - 2$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- 3 e^{u{\left(x \right)}} - 2$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3 e^{u{\left(x \right)}} + 2} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3 e^{u{\left(x \right)}} + 2} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{3 e^{u{\left(x \right)}} + 2} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{3 e^{u} + 2}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{2} + \frac{\log{\left(e^{u} + \frac{2}{3} \right)}}{2} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = x - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(e^{u{\left(x \right)}} + \frac{2}{3} \right)}}{2} = C_{1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{3} + \frac{u{\left(x \right)}}{3}$$
$$y1 = y(x) = \frac{C_{1}}{3} - \frac{2 x}{3}$$
Respuesta
[src]
/ -1 \
log|-----------|
| 2*x|
log(2) \C1 + 3*e /
y(x) = ------ + ----------------
3 3
$$y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{C_{1} + 3 e^{2 x}} \right)}}{3} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{3}$$
/ ___________ \
|3 ___ / -1 / 2/3 6 ___\|
|\/ 2 * / --------- *\- 3 - 3*I*\/ 3 /|
| 3 / 2*x |
| \/ C1 + e |
y(x) = log|-------------------------------------------|
\ 6 /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + e^{2 x}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} - 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6} \right)}$$
/ ___________ \
|3 ___ / -1 / 2/3 6 ___\|
|\/ 2 * / --------- *\- 3 + 3*I*\/ 3 /|
| 3 / 2*x |
| \/ C1 + e |
y(x) = log|-------------------------------------------|
\ 6 /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + e^{2 x}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7500009016474413)
(-5.555555555555555, 0.7500712143902757)
(-3.333333333333333, 0.7560932207319198)
(-1.1111111111111107, 8.481840926294522)
(1.1111111111111107, 9.721160751360765e+189)
(3.333333333333334, 5.498643958092424e+170)
(5.555555555555557, 4.954999445147873e-62)
(7.777777777777779, 3.3103543333274625e-33)
(10.0, 1.380505689319299e-71)
(10.0, 1.380505689319299e-71)