Sr Examen
Ecuación diferencial (2*xy^(1/2)-y)*dx+x*dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d ______
-y(x) + x*--(y(x)) + 2*x*\/ y(x) = 0
dx
$$2 x \sqrt{y{\left(x \right)}} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
2*x*sqrt(y) + x*y' - y = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 x \sqrt{y{\left(x \right)}} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{u{\left(x \right)}} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{u{\left(x \right)}} + x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 2 \sqrt{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$2 \sqrt{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \sqrt{u{\left(x \right)}}} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \sqrt{u{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
o
$$\frac{du}{2 \sqrt{u{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sqrt{u} = Const - 2 \sqrt{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} - 2 C_{1} \sqrt{x} + 4 x$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \left(\frac{C_{1}^{2}}{4} - 2 C_{1} \sqrt{x} + 4 x\right)$$
$$2 x \sqrt{y{\left(x \right)}} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{u{\left(x \right)}} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{u{\left(x \right)}} + x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 2 \sqrt{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$2 \sqrt{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \sqrt{u{\left(x \right)}}} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \sqrt{u{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
o
$$\frac{du}{2 \sqrt{u{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sqrt{u} = Const - 2 \sqrt{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} - 2 C_{1} \sqrt{x} + 4 x$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \left(\frac{C_{1}^{2}}{4} - 2 C_{1} \sqrt{x} + 4 x\right)$$
Respuesta
[src]
2
/ ___\
\4*x + C1*\/ x /
y(x) = -----------------
4
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(C_{1} \sqrt{x} + 4 x\right)^{2}}{4}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
lie group
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)