Ecuación diferencial y'*(y+1)=e^(-2*y)*(cos(3*x+2))^2

Tenemos la ecuación:
$$\left(y{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{- 2 y{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(3 x + 2 \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(3 x + 2 \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{e^{- 2 y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{e^{- 2 y{\left(x \right)}}}{y{\left(x \right)} + 1}$$
obtendremos
$$- \left(y{\left(x \right)} + 1\right) e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(3 x + 2 \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx \left(y{\left(x \right)} + 1\right) e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \cos^{2}{\left(3 x + 2 \right)}$$
o
$$- dy \left(y{\left(x \right)} + 1\right) e^{2 y{\left(x \right)}} = - dx \cos^{2}{\left(3 x + 2 \right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \left(y + 1\right) e^{2 y}\right)\, dy = \int \left(- \cos^{2}{\left(3 x + 2 \right)}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\left(- 2 y - 1\right) e^{2 y}}{4} = Const - \frac{x \sin^{2}{\left(3 x + 2 \right)}}{2} - \frac{x \cos^{2}{\left(3 x + 2 \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(3 x + 2 \right)} \cos{\left(3 x + 2 \right)}}{6}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{W\left(C_{1} + 2 e x + \frac{e \sin{\left(6 x + 4 \right)}}{3}\right)}{2} - \frac{1}{2}$$