Ecuación diferencial dy/dx=1/(2x+y)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{1}{2 x + y{\left(x \right)}} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 2 x + y{\left(x \right)}$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 2$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \left(- 2 x + u{\left(x \right)}\right) - \frac{1}{u{\left(x \right)}} = 0$$
o
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 2 - \frac{1}{u{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = -2 - \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$-2 - \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)} + 1} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{2 u + 1}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{2} + \frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{4} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{W\left(C_{1} e^{- 4 x - 1}\right)}{2} - \frac{1}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - 2 x + u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - 2 x - \frac{W\left(C_{1} e^{- 4 x - 1}\right)}{2} - \frac{1}{2}$$