Sr Examen
Ecuación diferencial dy=4*dx*x^5*y^3
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 5 3 --(y(x)) = 4*x *y (x) dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 4 x^{5} y^{3}{\left(x \right)}$$
y' = 4*x^5*y^3
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 4 x^{5} y^{3}{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{5}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - 4 y^{3}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- 4 y^{3}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{4 y^{3}{\left(x \right)}} = - x^{5}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{4 y^{3}{\left(x \right)}} = - dx x^{5}$$
o
$$- \frac{dy}{4 y^{3}{\left(x \right)}} = - dx x^{5}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{4 y^{3}}\right)\, dy = \int \left(- x^{5}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{8 y^{2}} = Const - \frac{x^{6}}{6}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 2 x^{6}}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 2 x^{6}}}}{2}$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 4 x^{5} y^{3}{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{5}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - 4 y^{3}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- 4 y^{3}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{4 y^{3}{\left(x \right)}} = - x^{5}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{4 y^{3}{\left(x \right)}} = - dx x^{5}$$
o
$$- \frac{dy}{4 y^{3}{\left(x \right)}} = - dx x^{5}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{4 y^{3}}\right)\, dy = \int \left(- x^{5}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{8 y^{2}} = Const - \frac{x^{6}}{6}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 2 x^{6}}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 2 x^{6}}}}{2}$$
Respuesta
[src]
___________
___ / -1
-\/ 6 * / ---------
/ 6
\/ C1 + 2*x
y(x) = ------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 2 x^{6}}}}{2}$$
___________
___ / -1
\/ 6 * / ---------
/ 6
\/ C1 + 2*x
y(x) = ----------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 2 x^{6}}}}{2}$$
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
separable reduced
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
separable reduced Integral