Ecuación diferencial dy/dx=cos^2(x-y)

Tenemos la ecuación:
$$- \cos^{2}{\left(x - y{\left(x \right)} \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = - x + y{\left(x \right)}$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 1$$
sustituimos
$$- \cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)} + \frac{d}{d x} \left(x + u{\left(x \right)}\right) = 0$$
o
$$- \cos^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)} + \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \sin^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\sin^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = - dx$$
o
$$\frac{du}{\sin^{2}{\left(u{\left(x \right)} \right)}} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}}\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{C_{1} - x} \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x + u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{C_{1} - x} \right)}$$