Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1+sqrt(sin(x)*sin(x))+2*cos(x)*cos(x)

Gráfico de la función y = 1+sqrt(sin(x)*sin(x))+2*cos(x)*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             _______________                  
f(x) = 1 + \/ sin(x)*sin(x)  + 2*cos(x)*cos(x)
f(x)=(sin⁡(x)sin⁡(x)+1)+cos⁡(x)2cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(\sqrt{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}} + 1\right) + \cos{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} 
f = sqrt(sin(x)*sin(x)) + 1 + cos(x)*(2*cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101014
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(sin⁡(x)sin⁡(x)+1)+cos⁡(x)2cos⁡(x)=0\left(\sqrt{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}} + 1\right) + \cos{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 + sqrt(sin(x)*sin(x)) + (2*cos(x))*cos(x).
(sin⁡(0)sin⁡(0)+1)+cos⁡(0)2cos⁡(0)\left(\sqrt{\sin{\left(0 \right)} \sin{\left(0 \right)}} + 1\right) + \cos{\left(0 \right)} 2 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡2(x)cos⁡(x)sin⁡(x)=0- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−2atan⁡(4−15)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(4 - \sqrt{15} \right)}
x4=2atan⁡(4−15)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(4 - \sqrt{15} \right)}
x5=−2atan⁡(15+4)x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} + 4 \right)}
x6=2atan⁡(15+4)x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} + 4 \right)}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 2)
  2      

 pi    
(--, 2)
 2     

        /      ____\           2/      /      ____\\      /      /      ____\\ 
(-2*atan\4 - \/ 15 /, 1 + 2*cos \2*atan\4 - \/ 15 // + sin\2*atan\4 - \/ 15 //)

       /      ____\           2/      /      ____\\      /      /      ____\\ 
(2*atan\4 - \/ 15 /, 1 + 2*cos \2*atan\4 - \/ 15 // + sin\2*atan\4 - \/ 15 //)

        /      ____\           2/      /      ____\\      /      /      ____\\ 
(-2*atan\4 + \/ 15 /, 1 + 2*cos \2*atan\4 + \/ 15 // + sin\2*atan\4 + \/ 15 //)

       /      ____\           2/      /      ____\\      /      /      ____\\ 
(2*atan\4 + \/ 15 /, 1 + 2*cos \2*atan\4 + \/ 15 // + sin\2*atan\4 + \/ 15 //)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=−2atan⁡(4−15)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(4 - \sqrt{15} \right)}
x2=2atan⁡(4−15)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(4 - \sqrt{15} \right)}
x2=−2atan⁡(15+4)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} + 4 \right)}
x2=2atan⁡(15+4)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{15} + 4 \right)}
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4sin⁡2(x)−4cos⁡2(x)−∣sin⁡(x)∣=04 \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos^{2}{\left(x \right)} - \left|{\sin{\left(x \right)}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2atan⁡(−18+233−1298+1298)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{33 - \sqrt{129}}}{8} + \frac{\sqrt{129}}{8} \right)}
x2=2atan⁡(−18+233−1298+1298)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{33 - \sqrt{129}}}{8} + \frac{\sqrt{129}}{8} \right)}
x3=−2atan⁡(−1298+18+233−1298)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{129}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{33 - \sqrt{129}}}{8} \right)}
x4=2atan⁡(−1298+18+233−1298)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{129}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{33 - \sqrt{129}}}{8} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2atan⁡(−18+233−1298+1298),2atan⁡(−1298+18+233−1298)]∪[−2atan⁡(−1298+18+233−1298),∞)\left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{33 - \sqrt{129}}}{8} + \frac{\sqrt{129}}{8} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{129}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{33 - \sqrt{129}}}{8} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{129}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{33 - \sqrt{129}}}{8} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(−18+233−1298+1298)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{33 - \sqrt{129}}}{8} + \frac{\sqrt{129}}{8} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(x)sin⁡(x)+1)+cos⁡(x)2cos⁡(x))=⟨1,3⟩+∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sqrt{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}} + 1\right) + \cos{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle 1, 3\right\rangle + \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨1,3⟩+∣⟨−1,1⟩∣y = \left\langle 1, 3\right\rangle + \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
lim⁡x→∞((sin⁡(x)sin⁡(x)+1)+cos⁡(x)2cos⁡(x))=⟨1,3⟩+∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sqrt{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}} + 1\right) + \cos{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle 1, 3\right\rangle + \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨1,3⟩+∣⟨−1,1⟩∣y = \left\langle 1, 3\right\rangle + \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 + sqrt(sin(x)*sin(x)) + (2*cos(x))*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞((sin⁡(x)sin⁡(x)+1)+cos⁡(x)2cos⁡(x)x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}} + 1\right) + \cos{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)}}{x}\right)
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
lim⁡x→∞((sin⁡(x)sin⁡(x)+1)+cos⁡(x)2cos⁡(x)x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}} + 1\right) + \cos{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(sin⁡(x)sin⁡(x)+1)+cos⁡(x)2cos⁡(x)=cos⁡(x)2cos⁡(x)+∣sin⁡(x)∣+1\left(\sqrt{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}} + 1\right) + \cos{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} + \left|{\sin{\left(x \right)}}\right| + 1
- No
(sin⁡(x)sin⁡(x)+1)+cos⁡(x)2cos⁡(x)=−cos⁡(x)2cos⁡(x)−∣sin⁡(x)∣−1\left(\sqrt{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}} + 1\right) + \cos{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} = - \cos{\left(x \right)} 2 \cos{\left(x \right)} - \left|{\sin{\left(x \right)}}\right| - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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