Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- 3 \log{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 92.1536510526427$$
$$x_{2} = 74.3513729610722$$
$$x_{3} = 76.445756400651$$
$$x_{4} = 100.531204638865$$
$$x_{5} = 96.3424271874236$$
$$x_{6} = 43.9829647927364$$
$$x_{7} = 41.8886122281726$$
$$x_{8} = 6.29278191723044$$
$$x_{9} = 15.7105309536845$$
$$x_{10} = 19.8986205587611$$
$$x_{11} = 65.9738477459929$$
$$x_{12} = 56.5491547048483$$
$$x_{13} = 78.5401405447888$$
$$x_{14} = 98.4368157600501$$
$$x_{15} = 85.8704897852191$$
$$x_{16} = 46.0773218089678$$
$$x_{17} = 2.16029784897009$$
$$x_{18} = 68.0682275933998$$
$$x_{19} = 24.0869935064117$$
$$x_{20} = 79.5873328619807$$
$$x_{21} = 26.1812385788794$$
$$x_{22} = 10.4764899884892$$
$$x_{23} = 39.7942649107512$$
$$x_{24} = 21.9927831881195$$
$$x_{25} = 30.3698008017668$$
$$x_{26} = 61.7850916250074$$
$$x_{27} = 13.6166929275579$$
$$x_{28} = 48.171682632084$$
$$x_{29} = 63.8794690465696$$
$$x_{30} = 52.3604136794562$$
$$x_{31} = 94.2480389434111$$
$$x_{32} = 4.20715294221441$$
$$x_{33} = 32.4641075469997$$
$$x_{34} = 50.2660467342498$$
$$x_{35} = 90.0592635422263$$
$$x_{36} = 28.2755096981709$$
$$x_{37} = 70.1626084756746$$
$$x_{38} = 8.38381259282155$$
$$x_{39} = 83.7761036083348$$
$$x_{40} = 59.6907156311258$$
$$x_{41} = 17.8045256303582$$
$$x_{42} = 87.9648764420645$$
$$x_{43} = 54.4547831045677$$
$$x_{44} = 33.511265754867$$
$$x_{45} = 37.6999238326345$$
$$x_{46} = 72.2569902938691$$
Signos de extremos en los puntos:
(92.15365105264269, 4.52345585787558)
(74.35137296107223, -4.30879980657959)
(76.445756400651, -4.33657923050441)
(100.53120463886512, 4.6104669809387)
(96.34242718742355, 4.56790748454639)
(43.98296479273636, 3.7837948053774)
(41.888612228172626, 3.73500552846426)
(6.292781917230444, 1.83864100311292)
(15.710530953684493, -2.75424953227859)
(19.898620558761056, -2.9906034963246)
(65.97384774599286, -4.18925537041119)
(56.549154704848284, 4.03510594924633)
(78.54014054478876, -4.36360777467183)
(98.43681576005011, 4.58941362872088)
(85.8704897852191, 4.45283853645973)
(46.07732180896777, 3.83031406272333)
(2.160297848970094, 0.755241176694825)
(68.06822759339975, -4.220507708109)
(24.086993506411748, -3.18164191083909)
(79.5873328619807, 4.37685294138224)
(26.181238578879434, -3.26501824653837)
(10.476489988489204, 2.34891825700492)
(39.79426491075122, 3.6837132806588)
(21.992783188119542, -3.09067720052523)
(30.369800801766818, -3.41343107396627)
(61.785091625007404, -4.12365857031863)
(13.6166929275579, -2.61118172530022)
(48.171682632084014, 3.87476517245795)
(63.8794690465696, -4.15699473648039)
(52.36041367945622, 3.95814572218027)
(94.24803894341115, 4.54592864333061)
(4.207152942214409, 1.43460659397474)
(32.464107546999664, -3.48011994906059)
(50.26604673424984, 3.91732422106114)
(90.0592635422263, 4.50046641543387)
(28.275509698170943, -3.34197525628304)
(70.1626084756746, -4.25081287145983)
(8.383812592821554, 2.12593114896635)
(83.77610360833481, 4.42814601943997)
(59.690715631125755, -4.0891726781444)
(17.80452563035817, -2.87939181233473)
(87.96487644206448, 4.47693599974731)
(54.45478310456767, 3.99736600265705)
(33.51126575486701, 3.51186758697996)
(37.69992383263446, 3.62964730501)
(72.25699029386908, -4.28022658778899)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 74.3513729610722$$
$$x_{2} = 76.445756400651$$
$$x_{3} = 15.7105309536845$$
$$x_{4} = 19.8986205587611$$
$$x_{5} = 65.9738477459929$$
$$x_{6} = 78.5401405447888$$
$$x_{7} = 68.0682275933998$$
$$x_{8} = 24.0869935064117$$
$$x_{9} = 26.1812385788794$$
$$x_{10} = 21.9927831881195$$
$$x_{11} = 30.3698008017668$$
$$x_{12} = 61.7850916250074$$
$$x_{13} = 13.6166929275579$$
$$x_{14} = 63.8794690465696$$
$$x_{15} = 32.4641075469997$$
$$x_{16} = 28.2755096981709$$
$$x_{17} = 70.1626084756746$$
$$x_{18} = 59.6907156311258$$
$$x_{19} = 17.8045256303582$$
$$x_{20} = 72.2569902938691$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{20} = 92.1536510526427$$
$$x_{20} = 100.531204638865$$
$$x_{20} = 96.3424271874236$$
$$x_{20} = 43.9829647927364$$
$$x_{20} = 41.8886122281726$$
$$x_{20} = 6.29278191723044$$
$$x_{20} = 56.5491547048483$$
$$x_{20} = 98.4368157600501$$
$$x_{20} = 85.8704897852191$$
$$x_{20} = 46.0773218089678$$
$$x_{20} = 2.16029784897009$$
$$x_{20} = 79.5873328619807$$
$$x_{20} = 10.4764899884892$$
$$x_{20} = 39.7942649107512$$
$$x_{20} = 48.171682632084$$
$$x_{20} = 52.3604136794562$$
$$x_{20} = 94.2480389434111$$
$$x_{20} = 4.20715294221441$$
$$x_{20} = 50.2660467342498$$
$$x_{20} = 90.0592635422263$$
$$x_{20} = 8.38381259282155$$
$$x_{20} = 83.7761036083348$$
$$x_{20} = 87.9648764420645$$
$$x_{20} = 54.4547831045677$$
$$x_{20} = 33.511265754867$$
$$x_{20} = 37.6999238326345$$
Decrece en los intervalos
$$\left[78.5401405447888, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 13.6166929275579\right]$$