Sr Examen

Gráfico de la función y = (xsqrt(2))/2-sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           ___         
       x*\/ 2          
f(x) = ------- - sin(x)
          2            
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} x}{2} - \sin{\left(x \right)}$$
f = (sqrt(2)*x)/2 - sin(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{2} x}{2} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1.39155737825151$$
$$x_{3} = 1.39155737825151$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*sqrt(2))/2 - sin(x).
$$\frac{0 \sqrt{2}}{2} - \sin{\left(0 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
         ___        ___ 
 pi    \/ 2    pi*\/ 2  
(--, - ----- + --------)
 4       2        8     

         ___          ___ 
 7*pi  \/ 2    7*pi*\/ 2  
(----, ----- + ----------)
  4      2         8      


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{7 \pi}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{4}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \pi\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} - \sin{\left(x \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} - \sin{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*sqrt(2))/2 - sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sqrt{2} x}{2} - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{\sqrt{2} x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sqrt{2} x}{2} - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{\sqrt{2} x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{2} x}{2} - \sin{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} x}{2} + \sin{\left(x \right)}$$
- No
$$\frac{\sqrt{2} x}{2} - \sin{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} x}{2} - \sin{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar