Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\left(\frac{\sqrt{2} \sin{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\sqrt{2} \left(- x\right)}{2}} + \left(\frac{\sqrt{2} \sin{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} - \frac{\sqrt{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}\right) e^{\frac{\sqrt{2} x}{2}} - \frac{\sqrt{2} \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\sqrt{2} \left(- x\right)}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \left(- \sin{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}\right) e^{\frac{\sqrt{2} x}{2}}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -8.88576094443548$$
$$x_{2} = -39.9859464434253$$
$$x_{3} = 2.15429000113047$$
$$x_{4} = 33.3216220361877$$
$$x_{5} = 37.7645049743461$$
$$x_{6} = -4.44023205911364$$
$$x_{7} = 6.66421026246123$$
$$x_{8} = -97.7434246394841$$
$$x_{9} = 42.2073879125045$$
$$x_{10} = 11.1072071322714$$
$$x_{11} = -26.6572976289502$$
$$x_{12} = 24.435856159871$$
$$x_{13} = -17.7715317526163$$
$$x_{14} = 28.8787390980294$$
$$x_{15} = -13.3286488052652$$
$$x_{16} = 15.5500902831563$$
$$x_{17} = -48.871712319742$$
$$x_{18} = -44.4288293815837$$
$$x_{19} = -22.2144146907918$$
$$x_{20} = -31.1001805671086$$
$$x_{21} = -35.5430635052669$$
$$x_{22} = 19.9929732217119$$
Signos de extremos en los puntos:
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 4.44288047221774*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -4.44288047221774*\/ 2
(-8.885760944435477, \- cos\4.44288047221774*\/ 2 / + sin\4.44288047221774*\/ 2 //*e + \- cos\4.44288047221774*\/ 2 / + sin\4.44288047221774*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 19.9929732217126*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -19.9929732217126*\/ 2
(-39.9859464434253, \- cos\19.9929732217126*\/ 2 / + sin\19.9929732217126*\/ 2 //*e + \- cos\19.9929732217126*\/ 2 / + sin\19.9929732217126*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 1.07714500056524*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -1.07714500056524*\/ 2
(2.154290001130474, \- cos\1.07714500056524*\/ 2 / - sin\1.07714500056524*\/ 2 //*e + \- cos\1.07714500056524*\/ 2 / - sin\1.07714500056524*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 16.6608110180939*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -16.6608110180939*\/ 2
(33.32162203618775, \- cos\16.6608110180939*\/ 2 / - sin\16.6608110180939*\/ 2 //*e + \- cos\16.6608110180939*\/ 2 / - sin\16.6608110180939*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 18.8822524871731*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -18.8822524871731*\/ 2
(37.76450497434611, \- cos\18.8822524871731*\/ 2 / - sin\18.8822524871731*\/ 2 //*e + \- cos\18.8822524871731*\/ 2 / - sin\18.8822524871731*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 2.22011602955682*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -2.22011602955682*\/ 2
(-4.440232059113636, \- cos\2.22011602955682*\/ 2 / + sin\2.22011602955682*\/ 2 //*e + \- cos\2.22011602955682*\/ 2 / + sin\2.22011602955682*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 3.33210513123061*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -3.33210513123061*\/ 2
(6.6642102624612285, \- cos\3.33210513123061*\/ 2 / - sin\3.33210513123061*\/ 2 //*e + \- cos\3.33210513123061*\/ 2 / - sin\3.33210513123061*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 48.871712319742*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -48.871712319742*\/ 2
(-97.74342463948406, \- cos\48.871712319742*\/ 2 / + sin\48.871712319742*\/ 2 //*e + \- cos\48.871712319742*\/ 2 / + sin\48.871712319742*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 21.1036939562522*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -21.1036939562522*\/ 2
(42.20738791250448, \- cos\21.1036939562522*\/ 2 / - sin\21.1036939562522*\/ 2 //*e + \- cos\21.1036939562522*\/ 2 / - sin\21.1036939562522*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 5.55360356613571*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -5.55360356613571*\/ 2
(11.107207132271425, \- cos\5.55360356613571*\/ 2 / - sin\5.55360356613571*\/ 2 //*e + \- cos\5.55360356613571*\/ 2 / - sin\5.55360356613571*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 13.3286488144751*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -13.3286488144751*\/ 2
(-26.657297628950197, \- cos\13.3286488144751*\/ 2 / + sin\13.3286488144751*\/ 2 //*e + \- cos\13.3286488144751*\/ 2 / + sin\13.3286488144751*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 12.2179280799355*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -12.2179280799355*\/ 2
(24.435856159871012, \- cos\12.2179280799355*\/ 2 / - sin\12.2179280799355*\/ 2 //*e + \- cos\12.2179280799355*\/ 2 / - sin\12.2179280799355*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 8.88576587630813*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -8.88576587630813*\/ 2
(-17.771531752616266, \- cos\8.88576587630813*\/ 2 / + sin\8.88576587630813*\/ 2 //*e + \- cos\8.88576587630813*\/ 2 / + sin\8.88576587630813*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 14.4393695490147*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -14.4393695490147*\/ 2
(28.87873909802938, \- cos\14.4393695490147*\/ 2 / - sin\14.4393695490147*\/ 2 //*e + \- cos\14.4393695490147*\/ 2 / - sin\14.4393695490147*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 6.66432440263258*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -6.66432440263258*\/ 2
(-13.328648805265157, \- cos\6.66432440263258*\/ 2 / + sin\6.66432440263258*\/ 2 //*e + \- cos\6.66432440263258*\/ 2 / + sin\6.66432440263258*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 7.77504514157814*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -7.77504514157814*\/ 2
(15.550090283156285, \- cos\7.77504514157814*\/ 2 / - sin\7.77504514157814*\/ 2 //*e + \- cos\7.77504514157814*\/ 2 / - sin\7.77504514157814*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 24.435856159871*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -24.435856159871*\/ 2
(-48.87171231974203, \- cos\24.435856159871*\/ 2 / + sin\24.435856159871*\/ 2 //*e + \- cos\24.435856159871*\/ 2 / + sin\24.435856159871*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 22.2144146907918*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -22.2144146907918*\/ 2
(-44.42882938158366, \- cos\22.2144146907918*\/ 2 / + sin\22.2144146907918*\/ 2 //*e + \- cos\22.2144146907918*\/ 2 / + sin\22.2144146907918*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 11.1072073453959*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -11.1072073453959*\/ 2
(-22.2144146907918, \- cos\11.1072073453959*\/ 2 / + sin\11.1072073453959*\/ 2 //*e + \- cos\11.1072073453959*\/ 2 / + sin\11.1072073453959*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 15.5500902835543*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -15.5500902835543*\/ 2
(-31.100180567108563, \- cos\15.5500902835543*\/ 2 / + sin\15.5500902835543*\/ 2 //*e + \- cos\15.5500902835543*\/ 2 / + sin\15.5500902835543*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 17.7715317526335*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -17.7715317526335*\/ 2
(-35.54306350526693, \- cos\17.7715317526335*\/ 2 / + sin\17.7715317526335*\/ 2 //*e + \- cos\17.7715317526335*\/ 2 / + sin\17.7715317526335*\/ 2 //*e )
___ ___
/ / ___\ / ___\\ 9.99648661085595*\/ 2 / / ___\ / ___\\ -9.99648661085595*\/ 2
(19.992973221711903, \- cos\9.99648661085595*\/ 2 / - sin\9.99648661085595*\/ 2 //*e + \- cos\9.99648661085595*\/ 2 / - sin\9.99648661085595*\/ 2 //*e )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -8.88576094443548$$
$$x_{2} = 2.15429000113047$$
$$x_{3} = 37.7645049743461$$
$$x_{4} = -97.7434246394841$$
$$x_{5} = 11.1072071322714$$
$$x_{6} = -26.6572976289502$$
$$x_{7} = -17.7715317526163$$
$$x_{8} = 28.8787390980294$$
$$x_{9} = -44.4288293815837$$
$$x_{10} = -35.5430635052669$$
$$x_{11} = 19.9929732217119$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{11} = -39.9859464434253$$
$$x_{11} = 33.3216220361877$$
$$x_{11} = -4.44023205911364$$
$$x_{11} = 6.66421026246123$$
$$x_{11} = 42.2073879125045$$
$$x_{11} = 24.435856159871$$
$$x_{11} = -13.3286488052652$$
$$x_{11} = 15.5500902831563$$
$$x_{11} = -48.871712319742$$
$$x_{11} = -22.2144146907918$$
$$x_{11} = -31.1001805671086$$
Decrece en los intervalos
$$\left[37.7645049743461, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -97.7434246394841\right]$$