Sr Examen

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cos(x+pi/2)
Trazado el gráfico de la función/ cos(x+pi/2)

Gráfico de la función y = cos(x+pi/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\
f(x) = cos|x + --|
          \    2 /
f(x)=cos⁡(x+π2)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)} 
f = cos(x + pi/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x+π2)=0\cos{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−59.6902604182061x_{1} = -59.6902604182061
x2=−62.8318530717959x_{2} = -62.8318530717959
x3=−97.3893722612836x_{3} = -97.3893722612836
x4=87.9645943005142x_{4} = 87.9645943005142
x5=−56.5486677646163x_{5} = -56.5486677646163
x6=31.4159265358979x_{6} = 31.4159265358979
x7=69.1150383789755x_{7} = 69.1150383789755
x8=−37.6991118430775x_{8} = -37.6991118430775
x9=−81.6814089933346x_{9} = -81.6814089933346
x10=−84.8230016469244x_{10} = -84.8230016469244
x11=−21.9911485751286x_{11} = -21.9911485751286
x12=47.1238898038469x_{12} = 47.1238898038469
x13=−113.097335529233x_{13} = -113.097335529233
x14=−12.5663706143592x_{14} = -12.5663706143592
x15=−15.707963267949x_{15} = -15.707963267949
x16=12.5663706143592x_{16} = 12.5663706143592
x17=−87.9645943005142x_{17} = -87.9645943005142
x18=53.4070751110265x_{18} = 53.4070751110265
x19=−267.035375555132x_{19} = -267.035375555132
x20=−100.530964914873x_{20} = -100.530964914873
x21=−3.14159265358979x_{21} = -3.14159265358979
x22=72.2566310325652x_{22} = 72.2566310325652
x23=−2642.07942166902x_{23} = -2642.07942166902
x24=34.5575191894877x_{24} = 34.5575191894877
x25=−94.2477796076938x_{25} = -94.2477796076938
x26=6.28318530717959x_{26} = 6.28318530717959
x27=−69.1150383789755x_{27} = -69.1150383789755
x28=97.3893722612836x_{28} = 97.3893722612836
x29=0x_{29} = 0
x30=65.9734457253857x_{30} = 65.9734457253857
x31=−50.2654824574367x_{31} = -50.2654824574367
x32=15.707963267949x_{32} = 15.707963267949
x33=3.14159265358979x_{33} = 3.14159265358979
x34=−25.1327412287183x_{34} = -25.1327412287183
x35=−18.8495559215388x_{35} = -18.8495559215388
x36=40.8407044966673x_{36} = 40.8407044966673
x37=−53.4070751110265x_{37} = -53.4070751110265
x38=37.6991118430775x_{38} = 37.6991118430775
x39=−43.9822971502571x_{39} = -43.9822971502571
x40=18.8495559215388x_{40} = 18.8495559215388
x41=−78.5398163397448x_{41} = -78.5398163397448
x42=−6.28318530717959x_{42} = -6.28318530717959
x43=−232.477856365645x_{43} = -232.477856365645
x44=−40.8407044966673x_{44} = -40.8407044966673
x45=43.9822971502571x_{45} = 43.9822971502571
x46=56.5486677646163x_{46} = 56.5486677646163
x47=−65.9734457253857x_{47} = -65.9734457253857
x48=−28.2743338823081x_{48} = -28.2743338823081
x49=78.5398163397448x_{49} = 78.5398163397448
x50=25.1327412287183x_{50} = 25.1327412287183
x51=75.398223686155x_{51} = 75.398223686155
x52=59.6902604182061x_{52} = 59.6902604182061
x53=−34.5575191894877x_{53} = -34.5575191894877
x54=81.6814089933346x_{54} = 81.6814089933346
x55=−47.1238898038469x_{55} = -47.1238898038469
x56=100.530964914873x_{56} = 100.530964914873
x57=−9.42477796076938x_{57} = -9.42477796076938
x58=−75.398223686155x_{58} = -75.398223686155
x59=−72.2566310325652x_{59} = -72.2566310325652
x60=−31.4159265358979x_{60} = -31.4159265358979
x61=28.2743338823081x_{61} = 28.2743338823081
x62=−91.106186954104x_{62} = -91.106186954104
x63=21.9911485751286x_{63} = 21.9911485751286
x64=62.8318530717959x_{64} = 62.8318530717959
x65=9.42477796076938x_{65} = 9.42477796076938
x66=50.2654824574367x_{66} = 50.2654824574367
x67=94.2477796076938x_{67} = 94.2477796076938
x68=91.106186954104x_{68} = 91.106186954104
x69=84.8230016469244x_{69} = 84.8230016469244
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x + pi/2).
cos⁡(π2)\cos{\left(\frac{\pi}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x+π2)=0- \sin{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi     
(--, -1)
 2      

 3*pi    
(----, 1)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Decrece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x+π2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x+π2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x + pi/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x+π2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x+π2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x+π2)=cos⁡(x−π2)\cos{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)} = \cos{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)}
- No
cos⁡(x+π2)=−cos⁡(x−π2)\cos{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)} = - \cos{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(x+pi/2)
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