Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (cos(x)+|cosx|)/2

Gráfico de la función y = (cos(x)+|cosx|)/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       cos(x) + |cos(x)|
f(x) = -----------------
               2
f(x)=cos⁡(x)+∣cos⁡(x)∣2f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)} + \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{2} 
f = (cos(x) + Abs(cos(x)))/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)+∣cos⁡(x)∣2=0\frac{\cos{\left(x \right)} + \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=66x_{1} = 66
x2=98x_{2} = 98
x3=−77.5627263507456x_{3} = -77.5627263507456
x4=46x_{4} = 46
x5=−2799.99960622144x_{5} = -2799.99960622144
x6=−46x_{6} = -46
x7=22x_{7} = 22
x8=10.0194362323158x_{8} = 10.0194362323158
x9=−42x_{9} = -42
x10=64.4085250921045x_{10} = 64.4085250921045
x11=−77.8009384018825x_{11} = -77.8009384018825
x12=−89.62954838467x_{12} = -89.62954838467
x13=−33.8875341687855x_{13} = -33.8875341687855
x14=36x_{14} = 36
x15=−60x_{15} = -60
x16=−66x_{16} = -66
x17=8.0417971986452x_{17} = 8.0417971986452
x18=−17.1999065327897x_{18} = -17.1999065327897
x19=−8x_{19} = -8
x20=−2x_{20} = -2
x21=29.8390851509474x_{21} = 29.8390851509474
x22=86x_{22} = 86
x23=−98.5824982542726x_{23} = -98.5824982542726
x24=42x_{24} = 42
x25=−36x_{25} = -36
x26=97.8106946022993x_{26} = 97.8106946022993
x27=90x_{27} = 90
x28=−10.6730490683186x_{28} = -10.6730490683186
x29=−3711.68551809371x_{29} = -3711.68551809371
x30=−58.1231527463055x_{30} = -58.1231527463055
x31=−67.533418300957x_{31} = -67.533418300957
x32=−92x_{32} = -92
x33=−26.9595429148762x_{33} = -26.9595429148762
x34=52x_{34} = 52
x35=−20.4785651650327x_{35} = -20.4785651650327
x36=−92.6214646313482x_{36} = -92.6214646313482
x37=96x_{37} = 96
x38=60.9602425285173x_{38} = 60.9602425285173
x39=−84x_{39} = -84
x40=−70.9217264599227x_{40} = -70.9217264599227
x41=10x_{41} = 10
x42=−98x_{42} = -98
x43=−28x_{43} = -28
x44=−14.1419440950275x_{44} = -14.1419440950275
x45=−72x_{45} = -72
x46=−3.57478542524454x_{46} = -3.57478542524454
x47=54x_{47} = 54
x48=−52x_{48} = -52
x49=70.7498381097569x_{49} = 70.7498381097569
x50=67.4721692654913x_{50} = 67.4721692654913
x51=28x_{51} = 28
x52=−61.1738700867584x_{52} = -61.1738700867584
x53=−34.6392864113155x_{53} = -34.6392864113155
x54=−16x_{54} = -16
x55=−40x_{55} = -40
x56=−48x_{56} = -48
x57=−23.5529882969396x_{57} = -23.5529882969396
x58=−47.4582354074039x_{58} = -47.4582354074039
x59=16x_{59} = 16
x60=−78x_{60} = -78
x61=481697.355320687x_{61} = 481697.355320687
x62=4x_{62} = 4
x63=−10x_{63} = -10
x64=−34x_{64} = -34
x65=−54.6287778529697x_{65} = -54.6287778529697
x66=84x_{66} = 84
x67=58.25x_{67} = 58.25
x68=−462.735285427121x_{68} = -462.735285427121
x69=84.2185160752421x_{69} = 84.2185160752421
x70=−86x_{70} = -86
x71=20.4276647401871x_{71} = 20.4276647401871
x72=−4x_{72} = -4
x73=40x_{73} = 40
x74=−96x_{74} = -96
x75=8x_{75} = 8
x76=−80x_{76} = -80
x77=77.2438326074908x_{77} = 77.2438326074908
x78=73.819920341552x_{78} = 73.819920341552
x79=40.3178319234437x_{79} = 40.3178319234437
x80=−29.75x_{80} = -29.75
x81=26.7746752474487x_{81} = 26.7746752474487
x82=23.4970773326386x_{82} = 23.4970773326386
x83=53.9191628451149x_{83} = 53.9191628451149
x84=−54x_{84} = -54
x85=17.0011520195501x_{85} = 17.0011520195501
x86=14.25x_{86} = 14.25
x87=33.2845341215372x_{87} = 33.2845341215372
x88=48x_{88} = 48
x89=−73.75x_{89} = -73.75
x90=−64.4547253951865x_{90} = -64.4547253951865
x91=78x_{91} = 78
x92=−91.3312085777552x_{92} = -91.3312085777552
x93=60x_{93} = 60
x94=86.0635435759017x_{94} = 86.0635435759017
x95=92x_{95} = 92
x96=−90x_{96} = -90
x97=72x_{97} = 72
x98=2x_{98} = 2
x99=−22x_{99} = -22
x100=80x_{100} = 80
x101=34x_{101} = 34
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (cos(x) + Abs(cos(x)))/2.
cos⁡(0)+∣cos⁡(0)∣2\frac{\cos{\left(0 \right)} + \left|{\cos{\left(0 \right)}}\right|}{2}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)sign⁡(cos⁡(x))2−sin⁡(x)2=0- \frac{\sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(pi, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡2(x)δ(cos⁡(x))−cos⁡(x)sign⁡(cos⁡(x))2−cos⁡(x)2=0\sin^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\cos{\left(x \right)}\right) - \frac{\cos{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+∣cos⁡(x)∣2)=⟨−12,12⟩+∣⟨−1,1⟩∣2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle + \frac{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−12,12⟩+∣⟨−1,1⟩∣2y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle + \frac{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}{2}
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+∣cos⁡(x)∣2)=⟨−12,12⟩+∣⟨−1,1⟩∣2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle + \frac{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−12,12⟩+∣⟨−1,1⟩∣2y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle + \frac{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (cos(x) + Abs(cos(x)))/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+∣cos⁡(x)∣2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+∣cos⁡(x)∣2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)+∣cos⁡(x)∣2=cos⁡(x)+∣cos⁡(x)∣2\frac{\cos{\left(x \right)} + \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{2} = \frac{\cos{\left(x \right)} + \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{2}
- Sí
cos⁡(x)+∣cos⁡(x)∣2=−cos⁡(x)+∣cos⁡(x)∣2\frac{\cos{\left(x \right)} + \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{2} = - \frac{\cos{\left(x \right)} + \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{2}
- No
es decir, función
es
par
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