Sr Examen

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Gráfico de la función y = 1/(1+exp(-8*(1-cos(x+2/3*pi))/2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                    1             
f(x) = ---------------------------
               /       /    2*pi\\
            -8*|1 - cos|x + ----||
               \       \     3  //
            ----------------------
                      2           
       1 + e                      
$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{e^{\frac{\left(-1\right) 8 \left(1 - \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}\right)}{2}} + 1}$$
f = 1/(exp((-8*(1 - cos(x + 2*pi/3)))/2) + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{e^{\frac{\left(-1\right) 8 \left(1 - \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}\right)}{2}} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(1 + exp((-8*(1 - cos(x + 2*pi/3)))/2)).
$$\frac{1}{e^{\frac{\left(-1\right) 8 \left(1 - \cos{\left(\frac{2 \pi}{3} \right)}\right)}{2}} + 1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{e^{-6} + 1}$$
Punto:
(0, 1/(1 + exp(-6)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 e^{\frac{\left(-1\right) 8 \left(1 - \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}\right)}{2}} \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{\left(e^{\frac{\left(-1\right) 8 \left(1 - \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}\right)}{2}} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \sqrt[3]{-1} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
 pi     1    
(--, -------)
 3        -8 
     1 + e   

       / 3 ____\                   1                   
(-I*log\-\/ -1 /, ------------------------------------)
                                 /pi        / 3 ____\\ 
                       -4 - 4*sin|-- - I*log\-\/ -1 /| 
                                 \6                  / 
                  1 + e                                


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{e^{\frac{\left(-1\right) 8 \left(1 - \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}\right)}{2}} + 1} = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{-8} + 1}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{-8} + 1}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{\left(-1\right) 8 \left(1 - \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}\right)}{2}} + 1} = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{-8} + 1}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{-8} + 1}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(1 + exp((-8*(1 - cos(x + 2*pi/3)))/2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(e^{\frac{\left(-1\right) 8 \left(1 - \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}\right)}{2}} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(e^{\frac{\left(-1\right) 8 \left(1 - \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}\right)}{2}} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{e^{\frac{\left(-1\right) 8 \left(1 - \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}\right)}{2}} + 1} = \frac{1}{e^{- 4 \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 4} + 1}$$
- No
$$\frac{1}{e^{\frac{\left(-1\right) 8 \left(1 - \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}\right)}{2}} + 1} = - \frac{1}{e^{- 4 \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 4} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar