Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{4 e^{\frac{\left(-1\right) 8 \left(1 - \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}\right)}{2}} \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{\left(e^{\frac{\left(-1\right) 8 \left(1 - \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}\right)}{2}} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \sqrt[3]{-1} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
pi 1
(--, -------)
3 -8
1 + e
/ 3 ____\ 1
(-I*log\-\/ -1 /, ------------------------------------)
/pi / 3 ____\\
-4 - 4*sin|-- - I*log\-\/ -1 /|
\6 /
1 + e
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$