Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- √(uno -cos(dos x)^2)/(tres -tan(x))
- √(1 menos coseno de (2x) al cuadrado ) dividir por (3 menos tangente de (x))
- √(uno menos coseno de (dos x) al cuadrado ) dividir por (tres menos tangente de (x))
- √(1-cos(2x)2)/(3-tan(x))
- √1-cos2x2/3-tanx
- √(1-cos(2x)²)/(3-tan(x))
- √(1-cos(2x) en el grado 2)/(3-tan(x))
- √1-cos2x^2/3-tanx
- √(1-cos(2x)^2) dividir por (3-tan(x))
-
Expresiones semejantes
- √(1+cos(2x)^2)/(3-tan(x))
- √(1-cos(2x)^2)/(3+tan(x))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos[x]/x^2
- cos(x-pi/3)-1
- cos(x)/(1+cos^2*2x)
- cos(1)/((3*x))
- cos(sqrt(x))+1
- Tangente tan
- tan(x+e^x)
- tan(x)^6*tan(3*x-3)
- tan(13*x/10)
- tan(x+5*pi/4)
- tan(9*x)*4
Gráfico de la función y = √(1-cos(2x)^2)/(3-tan(x))
Solución
Ha introducido
[src]
_______________
/ 2
\/ 1 - cos (2*x)
f(x) = ------------------
3 - tan(x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{3 - \tan{\left(x \right)}}$$
f = sqrt(1 - cos(2*x)^2)/(3 - tan(x))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1.24904577239825$$
$$x_{1} = 1.24904577239825$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{3 - \tan{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -14.1371668832646$$
$$x_{2} = -1.57079669385188$$
$$x_{3} = -34.5575191894877$$
$$x_{4} = 3.1415926535898$$
$$x_{5} = 89.5353905780434$$
$$x_{6} = -43.9822971502571$$
$$x_{7} = 28.2743338823081$$
$$x_{8} = 14.1371669834845$$
$$x_{9} = 45.5530934499154$$
$$x_{10} = -12.5663706143592$$
$$x_{11} = 59.6902604182061$$
$$x_{12} = -40.8407044966673$$
$$x_{13} = -98.9601686267913$$
$$x_{14} = 50.2654824574367$$
$$x_{15} = -51.8362787420083$$
$$x_{16} = 7.85398169307897$$
$$x_{17} = -73.8274273190247$$
$$x_{18} = -84.8230016469244$$
$$x_{19} = 64.4026491601497$$
$$x_{20} = 15.707963267949$$
$$x_{21} = -15.707963267949$$
$$x_{22} = -105.243354282192$$
$$x_{23} = -37.6991118430775$$
$$x_{24} = 25.1327412287183$$
$$x_{25} = -72.2566310325652$$
$$x_{26} = -29.8451301658165$$
$$x_{27} = -7.85398159059304$$
$$x_{28} = 1.57079632465356$$
$$x_{29} = 42.4115005498465$$
$$x_{30} = 23.5619448874686$$
$$x_{31} = -18.8495559215388$$
$$x_{32} = 53.4070751110265$$
$$x_{33} = -67.5442426753318$$
$$x_{34} = 47.1238898038469$$
$$x_{35} = 21.9911485751285$$
$$x_{36} = -45.5530939904938$$
$$x_{37} = 65.9734457253857$$
$$x_{38} = -23.5619453330591$$
$$x_{39} = -80.1106126131939$$
$$x_{40} = 21.9911485751286$$
$$x_{41} = 29.8451302692889$$
$$x_{42} = -6.28318530717959$$
$$x_{43} = -65.9734457253857$$
$$x_{44} = 81.6814089933346$$
$$x_{45} = 51.836278845372$$
$$x_{46} = 130.376094556578$$
$$x_{47} = -86.3937979421648$$
$$x_{48} = -64.4026493732499$$
$$x_{49} = -42.4115008055648$$
$$x_{50} = -56.5486677646163$$
$$x_{51} = 97.3893722612836$$
$$x_{52} = 37.6991118430775$$
$$x_{53} = -21.9911485751286$$
$$x_{54} = 69.1150383789755$$
$$x_{55} = -50.2654824574367$$
$$x_{56} = -94.2477796076938$$
$$x_{57} = 29.8451304245054$$
$$x_{58} = 4.71238857740406$$
$$x_{59} = -62.8318530717959$$
$$x_{60} = -20.4203522394489$$
$$x_{61} = -59.6902604182061$$
$$x_{62} = -53.4070751110265$$
$$x_{63} = -36.1283154597504$$
$$x_{64} = -87.9645943005142$$
$$x_{65} = -28.2743338823081$$
$$x_{66} = 86.3937977651364$$
$$x_{67} = 95.8185759971779$$
$$x_{68} = 67.5442420128826$$
$$x_{69} = 6.28318530717959$$
$$x_{70} = -58.1194640363891$$
$$x_{71} = 80.1106126966779$$
$$x_{72} = 58.1194641273429$$
$$x_{73} = 0$$
$$x_{74} = 87.9645943005142$$
$$x_{75} = 43.9822971502571$$
$$x_{76} = -76.9690197527207$$
$$x_{77} = 152.367243882963$$
$$x_{78} = 36.1283155562063$$
$$x_{79} = 31.4159265358979$$
$$x_{80} = 72.2566310325652$$
$$x_{81} = 73.8274274213337$$
$$x_{82} = -89.5353914041409$$
$$x_{83} = -7.85398153554784$$
$$x_{84} = 94.2477796076938$$
$$x_{85} = -100.530964914873$$
$$x_{86} = 91.106186954104$$
$$x_{87} = 9.42477796076938$$
$$x_{88} = -78.5398163397448$$
$$x_{89} = -95.8185758967522$$
$$x_{90} = -81.6814089933346$$
$$x_{91} = 20.4203519326203$$
$$x_{92} = 75.398223686155$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{3 - \tan{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -14.1371668832646$$
$$x_{2} = -1.57079669385188$$
$$x_{3} = -34.5575191894877$$
$$x_{4} = 3.1415926535898$$
$$x_{5} = 89.5353905780434$$
$$x_{6} = -43.9822971502571$$
$$x_{7} = 28.2743338823081$$
$$x_{8} = 14.1371669834845$$
$$x_{9} = 45.5530934499154$$
$$x_{10} = -12.5663706143592$$
$$x_{11} = 59.6902604182061$$
$$x_{12} = -40.8407044966673$$
$$x_{13} = -98.9601686267913$$
$$x_{14} = 50.2654824574367$$
$$x_{15} = -51.8362787420083$$
$$x_{16} = 7.85398169307897$$
$$x_{17} = -73.8274273190247$$
$$x_{18} = -84.8230016469244$$
$$x_{19} = 64.4026491601497$$
$$x_{20} = 15.707963267949$$
$$x_{21} = -15.707963267949$$
$$x_{22} = -105.243354282192$$
$$x_{23} = -37.6991118430775$$
$$x_{24} = 25.1327412287183$$
$$x_{25} = -72.2566310325652$$
$$x_{26} = -29.8451301658165$$
$$x_{27} = -7.85398159059304$$
$$x_{28} = 1.57079632465356$$
$$x_{29} = 42.4115005498465$$
$$x_{30} = 23.5619448874686$$
$$x_{31} = -18.8495559215388$$
$$x_{32} = 53.4070751110265$$
$$x_{33} = -67.5442426753318$$
$$x_{34} = 47.1238898038469$$
$$x_{35} = 21.9911485751285$$
$$x_{36} = -45.5530939904938$$
$$x_{37} = 65.9734457253857$$
$$x_{38} = -23.5619453330591$$
$$x_{39} = -80.1106126131939$$
$$x_{40} = 21.9911485751286$$
$$x_{41} = 29.8451302692889$$
$$x_{42} = -6.28318530717959$$
$$x_{43} = -65.9734457253857$$
$$x_{44} = 81.6814089933346$$
$$x_{45} = 51.836278845372$$
$$x_{46} = 130.376094556578$$
$$x_{47} = -86.3937979421648$$
$$x_{48} = -64.4026493732499$$
$$x_{49} = -42.4115008055648$$
$$x_{50} = -56.5486677646163$$
$$x_{51} = 97.3893722612836$$
$$x_{52} = 37.6991118430775$$
$$x_{53} = -21.9911485751286$$
$$x_{54} = 69.1150383789755$$
$$x_{55} = -50.2654824574367$$
$$x_{56} = -94.2477796076938$$
$$x_{57} = 29.8451304245054$$
$$x_{58} = 4.71238857740406$$
$$x_{59} = -62.8318530717959$$
$$x_{60} = -20.4203522394489$$
$$x_{61} = -59.6902604182061$$
$$x_{62} = -53.4070751110265$$
$$x_{63} = -36.1283154597504$$
$$x_{64} = -87.9645943005142$$
$$x_{65} = -28.2743338823081$$
$$x_{66} = 86.3937977651364$$
$$x_{67} = 95.8185759971779$$
$$x_{68} = 67.5442420128826$$
$$x_{69} = 6.28318530717959$$
$$x_{70} = -58.1194640363891$$
$$x_{71} = 80.1106126966779$$
$$x_{72} = 58.1194641273429$$
$$x_{73} = 0$$
$$x_{74} = 87.9645943005142$$
$$x_{75} = 43.9822971502571$$
$$x_{76} = -76.9690197527207$$
$$x_{77} = 152.367243882963$$
$$x_{78} = 36.1283155562063$$
$$x_{79} = 31.4159265358979$$
$$x_{80} = 72.2566310325652$$
$$x_{81} = 73.8274274213337$$
$$x_{82} = -89.5353914041409$$
$$x_{83} = -7.85398153554784$$
$$x_{84} = 94.2477796076938$$
$$x_{85} = -100.530964914873$$
$$x_{86} = 91.106186954104$$
$$x_{87} = 9.42477796076938$$
$$x_{88} = -78.5398163397448$$
$$x_{89} = -95.8185758967522$$
$$x_{90} = -81.6814089933346$$
$$x_{91} = 20.4203519326203$$
$$x_{92} = 75.398223686155$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(3 - \tan{\left(x \right)}\right)^{2}} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(3 - \tan{\left(x \right)}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + \frac{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}}{2} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + \frac{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}}{2} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + \frac{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}}{2} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + \frac{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}}{2} \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(3 - \tan{\left(x \right)}\right)^{2}} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(3 - \tan{\left(x \right)}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + \frac{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}}{2} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
_______________________________________________________________
/ / / _____________\\
/ | | 3 / ___ ||
/ 2| | 1 1 \/ 5 + 2*\/ 6 ||
/ 1 - cos |2*atan|- - + ------------------ + ----------------||
/ _____________\ / | | 2 _____________ 2 ||
| 3 / ___ | / | | 3 / ___ ||
| 1 1 \/ 5 + 2*\/ 6 | \/ \ \ 2*\/ 5 + 2*\/ 6 //
(-atan|- - + ------------------ + ----------------|, -----------------------------------------------------------------------)
| 2 _____________ 2 | _____________
| 3 / ___ | 3 / ___
\ 2*\/ 5 + 2*\/ 6 / 5 1 \/ 5 + 2*\/ 6
- + ------------------ + ----------------
2 _____________ 2
3 / ___
2*\/ 5 + 2*\/ 6 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + \frac{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}}{2} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + \frac{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}}{2} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + \frac{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}}{2} \right)}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} - 3}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)} - 3} - \frac{2 \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan{\left(x \right)} - 3\right)}\right)}{\tan{\left(x \right)} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}} + \frac{1}{2} + \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{121}{4 \sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}} + \frac{1}{2} + \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{121}{4 \sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}}}{2} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}{2} \right)}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1.24904577239825$$
$$\lim_{x \to 1.24904577239825^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} - 3}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)} - 3} - \frac{2 \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan{\left(x \right)} - 3\right)}\right)}{\tan{\left(x \right)} - 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1.24904577239825^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} - 3}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)} - 3} - \frac{2 \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan{\left(x \right)} - 3\right)}\right)}{\tan{\left(x \right)} - 3}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1.24904577239825$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}} + \frac{1}{2} + \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{121}{4 \sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}}}{2} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}} + \frac{1}{2} + \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{121}{4 \sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}}}{2} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}{2} \right)}, \frac{\pi}{4}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} - 3}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)} - 3} - \frac{2 \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan{\left(x \right)} - 3\right)}\right)}{\tan{\left(x \right)} - 3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}} + \frac{1}{2} + \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{121}{4 \sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}} + \frac{1}{2} + \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{121}{4 \sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}}}{2} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}{2} \right)}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1.24904577239825$$
$$\lim_{x \to 1.24904577239825^-}\left(\frac{2 \left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} - 3}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)} - 3} - \frac{2 \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan{\left(x \right)} - 3\right)}\right)}{\tan{\left(x \right)} - 3}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1.24904577239825^+}\left(\frac{2 \left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} - 3}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)} - 3} - \frac{2 \left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}} \left(\tan{\left(x \right)} - 3\right)}\right)}{\tan{\left(x \right)} - 3}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1.24904577239825$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}} + \frac{1}{2} + \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{121}{4 \sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}}}{2} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}} + \frac{1}{2} + \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{121}{4 \sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}}}{2} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{- \frac{9}{2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}} + \frac{1}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{111}{8} + \frac{15 \sqrt{58}}{8}}}}{2} \right)}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1.24904577239825$$
$$x_{1} = 1.24904577239825$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{3 - \tan{\left(x \right)}}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{3 - \tan{\left(x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{3 - \tan{\left(x \right)}}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{3 - \tan{\left(x \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(1 - cos(2*x)^2)/(3 - tan(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{x \left(3 - \tan{\left(x \right)}\right)}\right)$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{x \left(3 - \tan{\left(x \right)}\right)}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{x \left(3 - \tan{\left(x \right)}\right)}\right)$$
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{x \left(3 - \tan{\left(x \right)}\right)}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{3 - \tan{\left(x \right)}} = \frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{\tan{\left(x \right)} + 3}$$
- No
$$\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{3 - \tan{\left(x \right)}} = - \frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{\tan{\left(x \right)} + 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{3 - \tan{\left(x \right)}} = \frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{\tan{\left(x \right)} + 3}$$
- No
$$\frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{3 - \tan{\left(x \right)}} = - \frac{\sqrt{1 - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}}{\tan{\left(x \right)} + 3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar