Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2-2*lnx
-
(x-2)^2-9
-
(x+1)*e^-x
-
-sqrt(-exp(-sin(x))+sin(x))
-
Expresiones idénticas
- (pi/ dos)*(sqrt(((veinticinco *cos^ dos (pi*t/ cuatro))/ dieciséis)+((sin^ dos (pi*t/ cuatro))* nueve)))
- ( número pi dividir por 2) multiplicar por ( raíz cuadrada de (((25 multiplicar por coseno de al cuadrado ( número pi multiplicar por t dividir por 4)) dividir por 16) más (( seno de al cuadrado ( número pi multiplicar por t dividir por 4)) multiplicar por 9)))
- ( número pi dividir por dos) multiplicar por ( raíz cuadrada de (((veinticinco multiplicar por coseno de en el grado dos ( número pi multiplicar por t dividir por cuatro)) dividir por dieciséis) más (( seno de en el grado dos ( número pi multiplicar por t dividir por cuatro)) multiplicar por nueve)))
- (pi/2)*(√(((25*cos^2(pi*t/4))/16)+((sin^2(pi*t/4))*9)))
- (pi/2)*(sqrt(((25*cos2(pi*t/4))/16)+((sin2(pi*t/4))*9)))
- pi/2*sqrt25*cos2pi*t/4/16+sin2pi*t/4*9
- (pi/2)*(sqrt(((25*cos²(pi*t/4))/16)+((sin²(pi*t/4))*9)))
- (pi/2)*(sqrt(((25*cos en el grado 2(pi*t/4))/16)+((sin en el grado 2(pi*t/4))*9)))
- (pi/2)(sqrt(((25cos^2(pit/4))/16)+((sin^2(pit/4))9)))
- (pi/2)(sqrt(((25cos2(pit/4))/16)+((sin2(pit/4))9)))
- pi/2sqrt25cos2pit/4/16+sin2pit/49
- pi/2sqrt25cos^2pit/4/16+sin^2pit/49
- (pi dividir por 2)*(sqrt(((25*cos^2(pi*t dividir por 4)) dividir por 16)+((sin^2(pi*t dividir por 4))*9)))
-
Expresiones semejantes
- (pi/2)*(sqrt(((25*cos^2(pi*t/4))/16)-((sin^2(pi*t/4))*9)))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(2*x)-5/x+1
- sqrt(7-6*x-x^2)
- sqrt(-x^2-6*x+8)
- sqrt(x^2-2)/2
- sqrt(x^2-6*x+9)-sqrt(x^2+4*x+4)
- Coseno cos
- cos(x*sqrt(3))+sin(x*sqrt(3))
- cos(7*x)-sqrt(3-2*x)
- cos(4*x)/32+(1+x)*exp(4*x)
- cos(x)+4/5
- cos(3*x)-3*x
- Seno sin
- sin(22*x)/x
- sin2(x)/|sin(x)|
- sin(4*pi*x)+tan(2*pi*x)
- sin(x)/(-3+sqrt(9+x))
- sin^2*(x+2)-x^2-4*x-4
Gráfico de la función y = (pi/2)*(sqrt(((25*cos^2(pi*t/4))/16)+((sin^2(pi*t/4))*9)))
Solución
Ha introducido
[src]
______________________________
/ 2/pi*t\
/ 25*cos |----|
pi / \ 4 / 2/pi*t\
f(t) = --* / ------------- + sin |----|*9
2 \/ 16 \ 4 /
$$f{\left(t \right)} = \frac{\pi}{2} \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}$$
f = (pi/2)*sqrt(9*sin((pi*t)/4)^2 + (25*cos((pi*t)/4)^2)/16)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\pi}{2} \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje T
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\pi}{2} \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje T
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{119 \pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} \cos{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{128 \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = -2$$
$$t_{2} = 0$$
$$t_{3} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = -2$$
$$t_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{119 \pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} \cos{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{128 \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = -2$$
$$t_{2} = 0$$
$$t_{3} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
3*pi
(-2, ----)
2 5*pi
(0, ----)
8 3*pi
(2, ----)
2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = -2$$
$$t_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{119 \pi^{3} \left(\sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{119 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{144 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + 25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}\right)}{512 \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{29 - 4 \sqrt{51}}}{5} \right)}}{\pi}$$
$$t_{2} = \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{29 - 4 \sqrt{51}}}{5} \right)}}{\pi}$$
$$t_{3} = - \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 \sqrt{51} + 29}}{5} \right)}}{\pi}$$
$$t_{4} = \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 \sqrt{51} + 29}}{5} \right)}}{\pi}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 \sqrt{51} + 29}}{5} \right)}}{\pi}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{29 - 4 \sqrt{51}}}{5} \right)}}{\pi}\right] \cup \left[\frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{29 - 4 \sqrt{51}}}{5} \right)}}{\pi}, \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 \sqrt{51} + 29}}{5} \right)}}{\pi}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{119 \pi^{3} \left(\sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{119 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{144 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + 25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}\right)}{512 \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{29 - 4 \sqrt{51}}}{5} \right)}}{\pi}$$
$$t_{2} = \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{29 - 4 \sqrt{51}}}{5} \right)}}{\pi}$$
$$t_{3} = - \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 \sqrt{51} + 29}}{5} \right)}}{\pi}$$
$$t_{4} = \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 \sqrt{51} + 29}}{5} \right)}}{\pi}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 \sqrt{51} + 29}}{5} \right)}}{\pi}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{29 - 4 \sqrt{51}}}{5} \right)}}{\pi}\right] \cup \left[\frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{29 - 4 \sqrt{51}}}{5} \right)}}{\pi}, \frac{8 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} \sqrt{4 \sqrt{51} + 29}}{5} \right)}}{\pi}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\pi}{2} \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}\right) = \left\langle 0, \frac{13}{8}\right\rangle \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, \frac{13}{8}\right\rangle \pi$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\pi}{2} \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}\right) = \left\langle 0, \frac{13}{8}\right\rangle \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, \frac{13}{8}\right\rangle \pi$$
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\pi}{2} \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}\right) = \left\langle 0, \frac{13}{8}\right\rangle \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, \frac{13}{8}\right\rangle \pi$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\pi}{2} \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}\right) = \left\langle 0, \frac{13}{8}\right\rangle \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, \frac{13}{8}\right\rangle \pi$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (pi/2)*sqrt((25*cos((pi*t)/4)^2)/16 + sin((pi*t)/4)^2*9), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\pi \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}}{2 t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\pi \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}}{2 t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\pi \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}}{2 t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\pi \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}}{2 t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\pi}{2} \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}} = \frac{\pi \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}}{2}$$
- No
$$\frac{\pi}{2} \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}} = - \frac{\pi \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\pi}{2} \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}} = \frac{\pi \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}}{2}$$
- No
$$\frac{\pi}{2} \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}} = - \frac{\pi \sqrt{9 \sin^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)} + \frac{25 \cos^{2}{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{16}}}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar