Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x)-x

Gráfico de la función y = sin(x)-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x) - x
f(x)=−x+sin⁡(x)f{\left(x \right)} = - x + \sin{\left(x \right)} 
f = -x + sin(x)
Gráfico de la función
0.04.00.51.01.52.02.53.03.55-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+sin⁡(x)=0- x + \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−1.80175000295583⋅10−5x_{1} = -1.80175000295583 \cdot 10^{-5}
x2=−0.000157696828020104x_{2} = -0.000157696828020104
x3=−2.1240493551041⋅10−5x_{3} = -2.1240493551041 \cdot 10^{-5}
x4=−0.000101863601827664x_{4} = -0.000101863601827664
x5=−2.30650948881143⋅10−5x_{5} = -2.30650948881143 \cdot 10^{-5}
x6=−0.000175577662192217x_{6} = -0.000175577662192217
x7=0.000132920718924851x_{7} = 0.000132920718924851
x8=−1.47286646559006⋅10−5x_{8} = -1.47286646559006 \cdot 10^{-5}
x9=2.49127326983744⋅10−5x_{9} = 2.49127326983744 \cdot 10^{-5}
x10=0.000115526349792461x_{10} = 0.000115526349792461
x11=−3.17741918727463⋅10−5x_{11} = -3.17741918727463 \cdot 10^{-5}
x12=−0.000152751605225569x_{12} = -0.000152751605225569
x13=0.000116491909675764x_{13} = 0.000116491909675764
x14=−0.000135184808718669x_{14} = -0.000135184808718669
x15=−9.83485862207226⋅10−5x_{15} = -9.83485862207226 \cdot 10^{-5}
x16=0.000137906691427903x_{16} = 0.000137906691427903
x17=0.000157056351702437x_{17} = 0.000157056351702437
x18=0x_{18} = 0
x19=−0.000153828220060634x_{19} = -0.000153828220060634
x20=0.000196758597791821x_{20} = 0.000196758597791821
x21=0.000187685112066993x_{21} = 0.000187685112066993
x22=0.000158265439061853x_{22} = 0.000158265439061853
x23=−2.52124917530246⋅10−5x_{23} = -2.52124917530246 \cdot 10^{-5}
x24=0.000147410258149109x_{24} = 0.000147410258149109
x25=−0.000150650416849474x_{25} = -0.000150650416849474
x26=0.000192883233096713x_{26} = 0.000192883233096713
x27=−0.000165445288810936x_{27} = -0.000165445288810936
x28=−8.95231865768492⋅10−5x_{28} = -8.95231865768492 \cdot 10^{-5}
x29=−0.000119373030237671x_{29} = -0.000119373030237671
x30=0.000181808449257029x_{30} = 0.000181808449257029
x31=−0.000184329580774592x_{31} = -0.000184329580774592
x32=−8.65514725283832⋅10−5x_{32} = -8.65514725283832 \cdot 10^{-5}
x33=−1.98408831575722⋅10−5x_{33} = -1.98408831575722 \cdot 10^{-5}
x34=0.000103586989846506x_{34} = 0.000103586989846506
x35=9.87747756721168⋅10−5x_{35} = 9.87747756721168 \cdot 10^{-5}
x36=−0.000181578586037745x_{36} = -0.000181578586037745
x37=−0.000139957949205459x_{37} = -0.000139957949205459
x38=0.000186205615884384x_{38} = 0.000186205615884384
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) - x.
sin⁡(0)−0\sin{\left(0 \right)} - 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)−1=0\cos{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(2*pi, -2*pi)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+sin⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sin{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+sin⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sin{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+sin⁡(x)x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(−x+sin⁡(x)x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+sin⁡(x)=x−sin⁡(x)- x + \sin{\left(x \right)} = x - \sin{\left(x \right)}
- No
−x+sin⁡(x)=−x+sin⁡(x)- x + \sin{\left(x \right)} = - x + \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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