Sr Examen

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Gráfico de la función y = -tan(1+atan(t^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           /        / 2\\
f(t) = -tan\1 + atan\t //
f(t)=tan(atan(t2)+1)f{\left(t \right)} = - \tan{\left(\operatorname{atan}{\left(t^{2} \right)} + 1 \right)}
f = -tan(atan(t^2) + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan(atan(t2)+1)=0- \tan{\left(\operatorname{atan}{\left(t^{2} \right)} + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje T
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en -tan(1 + atan(t^2)).
tan(atan(02)+1)- \tan{\left(\operatorname{atan}{\left(0^{2} \right)} + 1 \right)}
Resultado:
f(0)=tan(1)f{\left(0 \right)} = - \tan{\left(1 \right)}
Punto:
(0, -tan(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
2t(tan2(atan(t2)+1)+1)t4+1=0- \frac{2 t \left(\tan^{2}{\left(\operatorname{atan}{\left(t^{2} \right)} + 1 \right)} + 1\right)}{t^{4} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=0t_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -tan(1))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
t1=0t_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
2(tan2(atan(t2)+1)+1)(4t4t4+1+4t2tan(atan(t2)+1)t4+1+1)t4+1=0- \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\operatorname{atan}{\left(t^{2} \right)} + 1 \right)} + 1\right) \left(- \frac{4 t^{4}}{t^{4} + 1} + \frac{4 t^{2} \tan{\left(\operatorname{atan}{\left(t^{2} \right)} + 1 \right)}}{t^{4} + 1} + 1\right)}{t^{4} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=4561.0816054384t_{1} = -4561.0816054384
t2=6557.94206499265t_{2} = 6557.94206499265
t3=2194.45527257084t_{3} = 2194.45527257084
t4=6960.37392835043t_{4} = -6960.37392835043
t5=7178.47419056566t_{5} = -7178.47419056566
t6=4812.99995884256t_{6} = 4812.99995884256
t7=4124.78172456999t_{7} = -4124.78172456999
t8=3285.84467120246t_{8} = 3285.84467120246
t9=1942.21106929836t_{9} = -1942.21106929836
t10=5685.50017306841t_{10} = 5685.50017306841
t11=2815.58612958771t_{11} = -2815.58612958771
t12=3940.40271652102t_{12} = 3940.40271652102
t13=10919.7658075958t_{13} = 10919.7658075958
t14=2849.38413704373t_{14} = 2849.38413704373
t15=4342.93566505384t_{15} = -4342.93566505384
t16=3033.8317153721t_{16} = -3033.8317153721
t17=3722.23025781143t_{17} = 3722.23025781143
t18=2597.31114538297t_{18} = -2597.31114538297
t19=3504.04508557147t_{19} = 3504.04508557147
t20=5433.60462135731t_{20} = -5433.60462135731
t21=9611.25862164469t_{21} = 9611.25862164469
t22=10047.4301664634t_{22} = 10047.4301664634
t23=7430.34617003321t_{23} = 7430.34617003321
t24=8956.99562917743t_{24} = 8956.99562917743
t25=9175.08412196212t_{25} = 9175.08412196212
t26=10449.8277302572t_{26} = -10449.8277302572
t27=6339.83574361643t_{27} = 6339.83574361643
t28=10885.9945779116t_{28} = -10885.9945779116
t29=6776.04606388126t_{29} = 6776.04606388126
t30=1723.6948768428t_{30} = -1723.6948768428
t31=2378.99869523626t_{31} = -2378.99869523626
t32=8738.90622506547t_{32} = 8738.90622506547
t33=10667.9114237547t_{33} = -10667.9114237547
t34=3470.25683552187t_{34} = -3470.25683552187
t35=6524.16738262466t_{35} = -6524.16738262466
t36=8084.63180744039t_{36} = 8084.63180744039
t37=8487.04335987365t_{37} = -8487.04335987365
t38=9359.39985337781t_{38} = -9359.39985337781
t39=8302.72439567443t_{39} = 8302.72439567443
t40=6742.27172393545t_{40} = -6742.27172393545
t41=7866.53797982263t_{41} = 7866.53797982263
t42=3688.44417247294t_{42} = -3688.44417247294
t43=5467.38167722636t_{43} = 5467.38167722636
t44=6121.72685162975t_{44} = 6121.72685162975
t45=7212.24793668016t_{45} = 7212.24793668016
t46=10231.7434629383t_{46} = -10231.7434629383
t47=7832.76494582429t_{47} = -7832.76494582429
t48=4158.56446033742t_{48} = 4158.56446033742
t49=4779.22064019992t_{49} = -4779.22064019992
t50=5249.25917265879t_{50} = 5249.25917265879
t51=7396.57268232278t_{51} = -7396.57268232278
t52=10701.6827335228t_{52} = 10701.6827335228
t53=6306.06068280019t_{53} = -6306.06068280019
t54=5031.13213833407t_{54} = 5031.13213833407
t55=8268.95174565771t_{55} = -8268.95174565771
t56=2631.11413630212t_{56} = 2631.11413630212
t57=9795.57305356333t_{57} = -9795.57305356333
t58=4376.71708985591t_{58} = 4376.71708985591
t59=1757.53994666307t_{59} = 1757.53994666307
t60=6994.14795746859t_{60} = 6994.14795746859
t61=9577.48682614751t_{61} = -9577.48682614751
t62=7648.44280683045t_{62} = 7648.44280683045
t63=9829.34473883156t_{63} = 9829.34473883156
t64=7614.66955569501t_{64} = -7614.66955569501
t65=2160.63746348536t_{65} = -2160.63746348536
t66=2412.80808854532t_{66} = 2412.80808854532
t67=9393.17176688301t_{67} = 9393.17176688301
t68=10483.5991251663t_{68} = 10483.5991251663
t69=1976.04024923119t_{69} = 1976.04024923119
t70=4594.86190201511t_{70} = 4594.86190201511
t71=3252.05380941148t_{71} = -3252.05380941148
t72=10265.5149484802t_{72} = 10265.5149484802
t73=8923.22345322829t_{73} = -8923.22345322829
t74=3906.61844534581t_{74} = -3906.61844534581
t75=8520.81583966705t_{75} = 8520.81583966705
t76=10013.6585843141t_{76} = -10013.6585843141
t77=8705.13390288973t_{77} = -8705.13390288973
t78=5651.72370321664t_{78} = -5651.72370321664
t79=4997.3536728881t_{79} = -4997.3536728881
t80=3067.62576804298t_{80} = 3067.62576804298
t81=8050.8589732138t_{81} = -8050.8589732138
t82=5869.83915653713t_{82} = -5869.83915653713
t83=9141.31208192029t_{83} = -9141.31208192029
t84=6087.95137110257t_{84} = -6087.95137110257
t85=5903.61510426179t_{85} = 5903.61510426179
t86=5215.48145601722t_{86} = -5215.48145601722

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
limt(tan(atan(t2)+1))=,\lim_{t \to -\infty}\left(- \tan{\left(\operatorname{atan}{\left(t^{2} \right)} + 1 \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=,y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
limt(tan(atan(t2)+1))=,\lim_{t \to \infty}\left(- \tan{\left(\operatorname{atan}{\left(t^{2} \right)} + 1 \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=,y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
tan(atan(t2)+1)=tan(atan(t2)+1)- \tan{\left(\operatorname{atan}{\left(t^{2} \right)} + 1 \right)} = - \tan{\left(\operatorname{atan}{\left(t^{2} \right)} + 1 \right)}
- Sí
tan(atan(t2)+1)=tan(atan(t2)+1)- \tan{\left(\operatorname{atan}{\left(t^{2} \right)} + 1 \right)} = \tan{\left(\operatorname{atan}{\left(t^{2} \right)} + 1 \right)}
- No
es decir, función
es
par