Sr Examen

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2*cos(3*x)
Trazado el gráfico de la función/ 2*cos(3*x)

Gráfico de la función y = 2*cos(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*cos(3*x)
f(x)=2cos⁡(3x)f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(3 x \right)} 
f = 2*cos(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2cos⁡(3x)=02 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=−27.7507351067098x_{1} = -27.7507351067098
x2=−47.6474885794452x_{2} = -47.6474885794452
x3=27.7507351067098x_{3} = 27.7507351067098
x4=73.8274273593601x_{4} = 73.8274273593601
x5=91.6297857297023x_{5} = 91.6297857297023
x6=−31.9395253114962x_{6} = -31.9395253114962
x7=34.0339204138894x_{7} = 34.0339204138894
x8=−89.5353906273091x_{8} = -89.5353906273091
x9=1676.03968069015x_{9} = 1676.03968069015
x10=42.4115008234622x_{10} = 42.4115008234622
x11=−5.75958653158129x_{11} = -5.75958653158129
x12=14.1371669411541x_{12} = 14.1371669411541
x13=31.9395253114962x_{13} = 31.9395253114962
x14=−1.5707963267949x_{14} = -1.5707963267949
x15=40.317105721069x_{15} = 40.317105721069
x16=44.5058959258554x_{16} = 44.5058959258554
x17=−67.5442420521806x_{17} = -67.5442420521806
x18=16.2315620435473x_{18} = 16.2315620435473
x19=−100.007366139275x_{19} = -100.007366139275
x20=5.75958653158129x_{20} = 5.75958653158129
x21=−78.0162175641465x_{21} = -78.0162175641465
x22=−80.1106126665397x_{22} = -80.1106126665397
x23=36.1283155162826x_{23} = 36.1283155162826
x24=−91.6297857297023x_{24} = -91.6297857297023
x25=−60.2138591938044x_{25} = -60.2138591938044
x26=95.8185759344887x_{26} = 95.8185759344887
x27=−3.66519142918809x_{27} = -3.66519142918809
x28=−34.0339204138894x_{28} = -34.0339204138894
x29=71.733032256967x_{29} = 71.733032256967
x30=−69.6386371545737x_{30} = -69.6386371545737
x31=−97.9129710368819x_{31} = -97.9129710368819
x32=−12.0427718387609x_{32} = -12.0427718387609
x33=60.2138591938044x_{33} = 60.2138591938044
x34=−19.3731546971371x_{34} = -19.3731546971371
x35=1.5707963267949x_{35} = 1.5707963267949
x36=75.9218224617533x_{36} = 75.9218224617533
x37=78.0162175641465x_{37} = 78.0162175641465
x38=−29.845130209103x_{38} = -29.845130209103
x39=−38.2227106186758x_{39} = -38.2227106186758
x40=−75.9218224617533x_{40} = -75.9218224617533
x41=−25.6563400043166x_{41} = -25.6563400043166
x42=20.4203522483337x_{42} = 20.4203522483337
x43=53.9306738866248x_{43} = 53.9306738866248
x44=38.2227106186758x_{44} = 38.2227106186758
x45=15.1843644923507x_{45} = 15.1843644923507
x46=−21.4675497995303x_{46} = -21.4675497995303
x47=−71.733032256967x_{47} = -71.733032256967
x48=7.85398163397448x_{48} = 7.85398163397448
x49=12.0427718387609x_{49} = 12.0427718387609
x50=41.3643032722656x_{50} = 41.3643032722656
x51=93.7241808320955x_{51} = 93.7241808320955
x52=4.71238898038469x_{52} = 4.71238898038469
x53=26.7035375555132x_{53} = 26.7035375555132
x54=64.4026493985908x_{54} = 64.4026493985908
x55=−9.94837673636768x_{55} = -9.94837673636768
x56=−14.1371669411541x_{56} = -14.1371669411541
x57=−51.8362787842316x_{57} = -51.8362787842316
x58=−16.2315620435473x_{58} = -16.2315620435473
x59=9.94837673636768x_{59} = 9.94837673636768
x60=−62.3082542961976x_{60} = -62.3082542961976
x61=58.1194640914112x_{61} = 58.1194640914112
x62=0.523598775598299x_{62} = 0.523598775598299
x63=49.7418836818384x_{63} = 49.7418836818384
x64=18.3259571459405x_{64} = 18.3259571459405
x65=−95.8185759344887x_{65} = -95.8185759344887
x66=−36.1283155162826x_{66} = -36.1283155162826
x67=86.3937979737193x_{67} = 86.3937979737193
x68=62.3082542961976x_{68} = 62.3082542961976
x69=−56.025068989018x_{69} = -56.025068989018
x70=−49.7418836818384x_{70} = -49.7418836818384
x71=97.9129710368819x_{71} = 97.9129710368819
x72=84.2994028713261x_{72} = 84.2994028713261
x73=56.025068989018x_{73} = 56.025068989018
x74=−23.5619449019235x_{74} = -23.5619449019235
x75=66.497044500984x_{75} = 66.497044500984
x76=−82.2050077689329x_{76} = -82.2050077689329
x77=−61.261056745001x_{77} = -61.261056745001
x78=87.4409955249159x_{78} = 87.4409955249159
x79=−98.9601685880785x_{79} = -98.9601685880785
x80=−7.85398163397448x_{80} = -7.85398163397448
x81=80.1106126665397x_{81} = 80.1106126665397
x82=−93.7241808320955x_{82} = -93.7241808320955
x83=29.845130209103x_{83} = 29.845130209103
x84=68.5914396033772x_{84} = 68.5914396033772
x85=−53.9306738866248x_{85} = -53.9306738866248
x86=−73.8274273593601x_{86} = -73.8274273593601
x87=51.8362787842316x_{87} = 51.8362787842316
x88=100.007366139275x_{88} = 100.007366139275
x89=−45.553093477052x_{89} = -45.553093477052
x90=82.2050077689329x_{90} = 82.2050077689329
x91=−43.4586983746588x_{91} = -43.4586983746588
x92=22.5147473507269x_{92} = 22.5147473507269
x93=−84.2994028713261x_{93} = -84.2994028713261
x94=−65.4498469497874x_{94} = -65.4498469497874
x95=88.4881930761125x_{95} = 88.4881930761125
x96=−58.1194640914112x_{96} = -58.1194640914112
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cos(3*x).
2cos⁡(0⋅3)2 \cos{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6sin⁡(3x)=0- 6 \sin{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π3x_{2} = \frac{\pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

 pi     
(--, -2)
 3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π3,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π3]\left[0, \frac{\pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−18cos⁡(3x)=0- 18 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π6,π2]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π6]∪[π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(3x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(2cos⁡(3x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2cos⁡(3x)=2cos⁡(3x)2 \cos{\left(3 x \right)} = 2 \cos{\left(3 x \right)}
- Sí
2cos⁡(3x)=−2cos⁡(3x)2 \cos{\left(3 x \right)} = - 2 \cos{\left(3 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 2*cos(3*x)
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