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3*cos(x)+sin(2*x)-6*x
Trazado el gráfico de la función/ 3*cos(x)+sin(2*x)-6*x

Gráfico de la función y = 3*cos(x)+sin(2*x)-6*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 3*cos(x) + sin(2*x) - 6*x
f(x)=−6x+(sin⁡(2x)+3cos⁡(x))f{\left(x \right)} = - 6 x + \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) 
f = -6*x + sin(2*x) + 3*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−6x+(sin⁡(2x)+3cos⁡(x))=0- 6 x + \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.572111336508335x_{1} = 0.572111336508335
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*cos(x) + sin(2*x) - 6*x.
−0+(sin⁡(0⋅2)+3cos⁡(0))- 0 + \left(\sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + 3 \cos{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x)+2cos⁡(2x)−6=0- 3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} - 6 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(4sin⁡(2x)+3cos⁡(x))=0- (4 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−ilog⁡(−558−3i8)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{55}}{8} - \frac{3 i}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(558−3i8)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{55}}{8} - \frac{3 i}{8} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[−atan⁡(35555),π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{55}}{55} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−6x+(sin⁡(2x)+3cos⁡(x)))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 6 x + \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−6x+(sin⁡(2x)+3cos⁡(x)))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- 6 x + \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos(x) + sin(2*x) - 6*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−6x+(sin⁡(2x)+3cos⁡(x))x)=−6\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 6 x + \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = -6
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−6xy = - 6 x
lim⁡x→∞(−6x+(sin⁡(2x)+3cos⁡(x))x)=−6\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 6 x + \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = -6
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−6xy = - 6 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−6x+(sin⁡(2x)+3cos⁡(x))=6x−sin⁡(2x)+3cos⁡(x)- 6 x + \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) = 6 x - \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}
- No
−6x+(sin⁡(2x)+3cos⁡(x))=−6x+sin⁡(2x)−3cos⁡(x)- 6 x + \left(\sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}\right) = - 6 x + \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 3*cos(x)+sin(2*x)-6*x
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