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-sin(x)+(-1+log(-1+sin(x))/2-log(1+sin(x))/2)*cos(x)

Gráfico de la función y = -sin(x)+(-1+log(-1+sin(x))/2-log(1+sin(x))/2)*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                 /     log(-1 + sin(x))   log(1 + sin(x))\       
f(x) = -sin(x) + |-1 + ---------------- - ---------------|*cos(x)
                 \            2                  2       /       
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - 1\right) - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$$
f = (log(sin(x) - 1)/2 - 1 - log(sin(x) + 1)/2)*cos(x) - sin(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - 1\right) - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -sin(x) + (-1 + log(-1 + sin(x))/2 - log(1 + sin(x))/2)*cos(x).
$$- \sin{\left(0 \right)} + \left(- \frac{\log{\left(\sin{\left(0 \right)} + 1 \right)}}{2} + \left(-1 + \frac{\log{\left(-1 + \sin{\left(0 \right)} \right)}}{2}\right)\right) \cos{\left(0 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -1 + \frac{i \pi}{2}$$
Punto:
(0, -1 + pi*i/2)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - 1\right) - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle \left(\frac{\log{\left(\left\langle -2, 0\right\rangle \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}}{2} - 1\right) + \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle \left(\frac{\log{\left(\left\langle -2, 0\right\rangle \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}}{2} - 1\right) + \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - 1\right) - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle \left(\frac{\log{\left(\left\langle -2, 0\right\rangle \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}}{2} - 1\right) + \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle \left(\frac{\log{\left(\left\langle -2, 0\right\rangle \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}}{2} - 1\right) + \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -sin(x) + (-1 + log(-1 + sin(x))/2 - log(1 + sin(x))/2)*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - 1\right) - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - 1\right) - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - 1\right) - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = \left(- \frac{\log{\left(1 - \sin{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(- \sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - 1\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$
- No
$$\left(\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - 1\right) - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = - \left(- \frac{\log{\left(1 - \sin{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\log{\left(- \sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -sin(x)+(-1+log(-1+sin(x))/2-log(1+sin(x))/2)*cos(x)