Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x*exp(x/2)

Gráfico de la función y = x*exp(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x
          -
          2
f(x) = x*e
f(x)=xex2f{\left(x \right)} = x e^{\frac{x}{2}} 
f = x*exp(x/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xex2=0x e^{\frac{x}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−130.693518398882x_{1} = -130.693518398882
x2=−108.910110368545x_{2} = -108.910110368545
x3=−68.047205166158x_{3} = -68.047205166158
x4=−75.660519606254x_{4} = -75.660519606254
x5=−87.2921696195403x_{5} = -87.2921696195403
x6=−142.610453609706x_{6} = -142.610453609706
x7=−136.64969703715x_{7} = -136.64969703715
x8=−138.636144267935x_{8} = -138.636144267935
x9=−128.709285568355x_{9} = -128.709285568355
x10=−93.1614947460733x_{10} = -93.1614947460733
x11=−126.725692171233x_{11} = -126.725692171233
x12=−85.3421347312688x_{12} = -85.3421347312688
x13=−91.202176802074x_{13} = -91.202176802074
x14=−101.021705770294x_{14} = -101.021705770294
x15=−124.742778377687x_{15} = -124.742778377687
x16=−83.3959375378463x_{16} = -83.3959375378463
x17=−140.623071549049x_{17} = -140.623071549049
x18=−116.81885295264x_{18} = -116.81885295264
x19=−106.935853068999x_{19} = -106.935853068999
x20=−104.962955758259x_{20} = -104.962955758259
x21=−110.885626192036x_{21} = -110.885626192036
x22=−77.5856076024516x_{22} = -77.5856076024516
x23=0x_{23} = 0
x24=−132.678353627986x_{24} = -132.678353627986
x25=−66.1743908154507x_{25} = -66.1743908154507
x26=−89.2456339389766x_{26} = -89.2456339389766
x27=−102.991531325427x_{27} = -102.991531325427
x28=−134.663757053366x_{28} = -134.663757053366
x29=−112.862309069507x_{29} = -112.862309069507
x30=−118.798570886391x_{30} = -118.798570886391
x31=−114.840076308525x_{31} = -114.840076308525
x32=−71.8335701954046x_{32} = -71.8335701954046
x33=−69.9344146471001x_{33} = -69.9344146471001
x34=−64.3191992119936x_{34} = -64.3191992119936
x35=−73.7427721766645x_{35} = -73.7427721766645
x36=−79.5170556694887x_{36} = -79.5170556694887
x37=−122.760587836202x_{37} = -122.760587836202
x38=−99.0536202034724x_{38} = -99.0536202034724
x39=−81.4540563265311x_{39} = -81.4540563265311
x40=−97.0874332317734x_{40} = -97.0874332317734
x41=−95.1233238199672x_{41} = -95.1233238199672
x42=−120.779168063121x_{42} = -120.779168063121
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*exp(x/2).
0e020 e^{\frac{0}{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xex22+ex2=0\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
Signos de extremos en los puntos:
         -1 
(-2, -2*e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x4+1)ex2=0\left(\frac{x}{4} + 1\right) e^{\frac{x}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−4x_{1} = -4

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−4,∞)\left[-4, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−4]\left(-\infty, -4\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xex2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{\frac{x}{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(xex2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x e^{\frac{x}{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*exp(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞ex2=0\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{x}{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞ex2=∞\lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xex2=−xe−x2x e^{\frac{x}{2}} = - x e^{- \frac{x}{2}}
- No
xex2=xe−x2x e^{\frac{x}{2}} = x e^{- \frac{x}{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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