Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- (cos(x*sqrt(tres))+sin(x*sqrt(tres)))*exp(-x)
- ( coseno de (x multiplicar por raíz cuadrada de (3)) más seno de (x multiplicar por raíz cuadrada de (3))) multiplicar por exponente de ( menos x)
- ( coseno de (x multiplicar por raíz cuadrada de (tres)) más seno de (x multiplicar por raíz cuadrada de (tres))) multiplicar por exponente de ( menos x)
- (cos(x*√(3))+sin(x*√(3)))*exp(-x)
- (cos(xsqrt(3))+sin(xsqrt(3)))exp(-x)
- cosxsqrt3+sinxsqrt3exp-x
-
Expresiones semejantes
- (cos(x*sqrt(3))-sin(x*sqrt(3)))*exp(-x)
- (cos(x*sqrt(3))+sin(x*sqrt(3)))*exp(x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)+cos(2x)
- cos(x^2+5)^(3)
- cos[x/3]
- cos(x)/8
- cos(5*x)+sin(5*x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1-x*x)
- sqrt(x)/(sqrt(x)+1)
- sqrt(x+4)^3
- sqrt(x)^2+5*x
- sqrt(x^2-1)+sqrt(1-x^2)
- Seno sin
- sin(x)+5
- sin(x)-cos(x^2)+(1/4)
- sin(x)+5*cos(x)
- sin(x^(3)+x)
- sin(x)*3
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1-x*x)
- sqrt(x)/(sqrt(x)+1)
- sqrt(x+4)^3
- sqrt(x)^2+5*x
- sqrt(x^2-1)+sqrt(1-x^2)
- Exponente exp
- exp(x)/3+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(-x/2)
- exp(2*x)/3
- exp(1-t)/(-1+exp(1-t))
- exp^(-2/x)
- exp(x^5)
Gráfico de la función y = (cos(x*sqrt(3))+sin(x*sqrt(3)))*exp(-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / ___\ / ___\\ -x f(x) = \cos\x*\/ 3 / + sin\x*\/ 3 //*e
$$f{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x}$$
f = (sin(sqrt(3)*x) + cos(sqrt(3)*x))*exp(-x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 8.61554698011254$$
$$x_{2} = 32.1949387151574$$
$$x_{3} = 73.9123240925444$$
$$x_{4} = -24.0328415761034$$
$$x_{5} = -2.26724920529277$$
$$x_{6} = 72.0985247283102$$
$$x_{7} = 3.17414888740988$$
$$x_{8} = -11.3362460264639$$
$$x_{9} = 4.9879482516441$$
$$x_{10} = 86.6089196421839$$
$$x_{11} = -31.2880390330403$$
$$x_{12} = 66.6571266356075$$
$$x_{13} = -4.08104856952699$$
$$x_{14} = 55.7743304502022$$
$$x_{15} = -25.8466409403376$$
$$x_{16} = -22.2190422118692$$
$$x_{17} = 15.8707444370494$$
$$x_{18} = 26.7535406224547$$
$$x_{19} = 70.2847253640759$$
$$x_{20} = 12.243145708581$$
$$x_{21} = 28.5673399866889$$
$$x_{22} = 93.8641170991208$$
$$x_{23} = 10.4293463443468$$
$$x_{24} = -13.1500453906981$$
$$x_{25} = 50.3329323574995$$
$$x_{26} = 53.960531085968$$
$$x_{27} = 48.5191329932653$$
$$x_{28} = 34.0087380793916$$
$$x_{29} = -5.89484793376121$$
$$x_{30} = 95.677916463355$$
$$x_{31} = 101.119314556058$$
$$x_{32} = 37.63633680786$$
$$x_{33} = 81.1675215494813$$
$$x_{34} = 30.3811393509231$$
$$x_{35} = 90.2365183706523$$
$$x_{36} = 82.9813209137155$$
$$x_{37} = 23.1259418939863$$
$$x_{38} = 6.80174761587832$$
$$x_{39} = 68.4709259998417$$
$$x_{40} = 24.9397412582205$$
$$x_{41} = 75.7261234567786$$
$$x_{42} = -29.474239668806$$
$$x_{43} = 108.374512012995$$
$$x_{44} = 88.4227190064181$$
$$x_{45} = 14.0569450728152$$
$$x_{46} = -7.70864729799543$$
$$x_{47} = 92.0503177348866$$
$$x_{48} = 52.1467317217338$$
$$x_{49} = 64.8433272713733$$
$$x_{50} = -14.9638447549323$$
$$x_{51} = -18.5914434834007$$
$$x_{52} = 43.0777349005627$$
$$x_{53} = 17.6845438012836$$
$$x_{54} = -9.52244666222964$$
$$x_{55} = 46.7053336290311$$
$$x_{56} = 84.7951202779497$$
$$x_{57} = 44.8915342647969$$
$$x_{58} = 63.0295279071391$$
$$x_{59} = -27.6604403045718$$
$$x_{60} = 35.8225374436258$$
$$x_{61} = 59.4019291786706$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 8.61554698011254$$
$$x_{2} = 32.1949387151574$$
$$x_{3} = 73.9123240925444$$
$$x_{4} = -24.0328415761034$$
$$x_{5} = -2.26724920529277$$
$$x_{6} = 72.0985247283102$$
$$x_{7} = 3.17414888740988$$
$$x_{8} = -11.3362460264639$$
$$x_{9} = 4.9879482516441$$
$$x_{10} = 86.6089196421839$$
$$x_{11} = -31.2880390330403$$
$$x_{12} = 66.6571266356075$$
$$x_{13} = -4.08104856952699$$
$$x_{14} = 55.7743304502022$$
$$x_{15} = -25.8466409403376$$
$$x_{16} = -22.2190422118692$$
$$x_{17} = 15.8707444370494$$
$$x_{18} = 26.7535406224547$$
$$x_{19} = 70.2847253640759$$
$$x_{20} = 12.243145708581$$
$$x_{21} = 28.5673399866889$$
$$x_{22} = 93.8641170991208$$
$$x_{23} = 10.4293463443468$$
$$x_{24} = -13.1500453906981$$
$$x_{25} = 50.3329323574995$$
$$x_{26} = 53.960531085968$$
$$x_{27} = 48.5191329932653$$
$$x_{28} = 34.0087380793916$$
$$x_{29} = -5.89484793376121$$
$$x_{30} = 95.677916463355$$
$$x_{31} = 101.119314556058$$
$$x_{32} = 37.63633680786$$
$$x_{33} = 81.1675215494813$$
$$x_{34} = 30.3811393509231$$
$$x_{35} = 90.2365183706523$$
$$x_{36} = 82.9813209137155$$
$$x_{37} = 23.1259418939863$$
$$x_{38} = 6.80174761587832$$
$$x_{39} = 68.4709259998417$$
$$x_{40} = 24.9397412582205$$
$$x_{41} = 75.7261234567786$$
$$x_{42} = -29.474239668806$$
$$x_{43} = 108.374512012995$$
$$x_{44} = 88.4227190064181$$
$$x_{45} = 14.0569450728152$$
$$x_{46} = -7.70864729799543$$
$$x_{47} = 92.0503177348866$$
$$x_{48} = 52.1467317217338$$
$$x_{49} = 64.8433272713733$$
$$x_{50} = -14.9638447549323$$
$$x_{51} = -18.5914434834007$$
$$x_{52} = 43.0777349005627$$
$$x_{53} = 17.6845438012836$$
$$x_{54} = -9.52244666222964$$
$$x_{55} = 46.7053336290311$$
$$x_{56} = 84.7951202779497$$
$$x_{57} = 44.8915342647969$$
$$x_{58} = 63.0295279071391$$
$$x_{59} = -27.6604403045718$$
$$x_{60} = 35.8225374436258$$
$$x_{61} = 59.4019291786706$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(- \sqrt{3} \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} - \left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}\right] \cup \left[- \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(- \sqrt{3} \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} - \left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
___ / ___ ___ ___\
2*\/ 3 *atan\2 + \/ 2 + \/ 3 + \/ 6 /
___ / ___ ___ ___\ ---------------------------------------
-2*\/ 3 *atan\2 + \/ 2 + \/ 3 + \/ 6 / / / / ___ ___ ___\\ / / ___ ___ ___\\\ 3
(----------------------------------------, \- sin\2*atan\2 + \/ 2 + \/ 3 + \/ 6 // + cos\2*atan\2 + \/ 2 + \/ 3 + \/ 6 ///*e )
3 ___ / ___ ___ ___\
2*\/ 3 *atan\2 + \/ 3 - \/ 2 - \/ 6 /
___ / ___ ___ ___\ ---------------------------------------
-2*\/ 3 *atan\2 + \/ 3 - \/ 2 - \/ 6 / / / / ___ ___ ___\\ / / ___ ___ ___\\\ 3
(----------------------------------------, \- sin\2*atan\2 + \/ 3 - \/ 2 - \/ 6 // + cos\2*atan\2 + \/ 3 - \/ 2 - \/ 6 ///*e )
3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}\right] \cup \left[- \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\sqrt{3} \left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} - \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) - \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} - \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 \right)}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)}}{3}\right] \cup \left[- \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 \right)}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 \right)}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\sqrt{3} \left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} - \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) - \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} - \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 \right)}}{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)}}{3}\right] \cup \left[- \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 \right)}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 \right)}}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (cos(x*sqrt(3)) + sin(x*sqrt(3)))*exp(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = \left(- \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{x}$$
- No
$$\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = - \left(- \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = \left(- \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{x}$$
- No
$$\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = - \left(- \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico