Sr Examen

Otras calculadoras

(cos(x*sqrt(3))+sin(x*sqrt(3)))*exp(-x)
Trazado el gráfico de la función/ (cos(x*sqrt(3))+sin(x*sqrt(3)))*exp(-x)

Gráfico de la función y = (cos(x*sqrt(3))+sin(x*sqrt(3)))*exp(-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /   /    ___\      /    ___\\  -x
f(x) = \cos\x*\/ 3 / + sin\x*\/ 3 //*e
f(x)=(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−xf{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} 
f = (sin(sqrt(3)*x) + cos(sqrt(3)*x))*exp(-x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−x=0\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3π12x_{1} = - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}
Solución numérica
x1=8.61554698011254x_{1} = 8.61554698011254
x2=32.1949387151574x_{2} = 32.1949387151574
x3=73.9123240925444x_{3} = 73.9123240925444
x4=−24.0328415761034x_{4} = -24.0328415761034
x5=−2.26724920529277x_{5} = -2.26724920529277
x6=72.0985247283102x_{6} = 72.0985247283102
x7=3.17414888740988x_{7} = 3.17414888740988
x8=−11.3362460264639x_{8} = -11.3362460264639
x9=4.9879482516441x_{9} = 4.9879482516441
x10=86.6089196421839x_{10} = 86.6089196421839
x11=−31.2880390330403x_{11} = -31.2880390330403
x12=66.6571266356075x_{12} = 66.6571266356075
x13=−4.08104856952699x_{13} = -4.08104856952699
x14=55.7743304502022x_{14} = 55.7743304502022
x15=−25.8466409403376x_{15} = -25.8466409403376
x16=−22.2190422118692x_{16} = -22.2190422118692
x17=15.8707444370494x_{17} = 15.8707444370494
x18=26.7535406224547x_{18} = 26.7535406224547
x19=70.2847253640759x_{19} = 70.2847253640759
x20=12.243145708581x_{20} = 12.243145708581
x21=28.5673399866889x_{21} = 28.5673399866889
x22=93.8641170991208x_{22} = 93.8641170991208
x23=10.4293463443468x_{23} = 10.4293463443468
x24=−13.1500453906981x_{24} = -13.1500453906981
x25=50.3329323574995x_{25} = 50.3329323574995
x26=53.960531085968x_{26} = 53.960531085968
x27=48.5191329932653x_{27} = 48.5191329932653
x28=34.0087380793916x_{28} = 34.0087380793916
x29=−5.89484793376121x_{29} = -5.89484793376121
x30=95.677916463355x_{30} = 95.677916463355
x31=101.119314556058x_{31} = 101.119314556058
x32=37.63633680786x_{32} = 37.63633680786
x33=81.1675215494813x_{33} = 81.1675215494813
x34=30.3811393509231x_{34} = 30.3811393509231
x35=90.2365183706523x_{35} = 90.2365183706523
x36=82.9813209137155x_{36} = 82.9813209137155
x37=23.1259418939863x_{37} = 23.1259418939863
x38=6.80174761587832x_{38} = 6.80174761587832
x39=68.4709259998417x_{39} = 68.4709259998417
x40=24.9397412582205x_{40} = 24.9397412582205
x41=75.7261234567786x_{41} = 75.7261234567786
x42=−29.474239668806x_{42} = -29.474239668806
x43=108.374512012995x_{43} = 108.374512012995
x44=88.4227190064181x_{44} = 88.4227190064181
x45=14.0569450728152x_{45} = 14.0569450728152
x46=−7.70864729799543x_{46} = -7.70864729799543
x47=92.0503177348866x_{47} = 92.0503177348866
x48=52.1467317217338x_{48} = 52.1467317217338
x49=64.8433272713733x_{49} = 64.8433272713733
x50=−14.9638447549323x_{50} = -14.9638447549323
x51=−18.5914434834007x_{51} = -18.5914434834007
x52=43.0777349005627x_{52} = 43.0777349005627
x53=17.6845438012836x_{53} = 17.6845438012836
x54=−9.52244666222964x_{54} = -9.52244666222964
x55=46.7053336290311x_{55} = 46.7053336290311
x56=84.7951202779497x_{56} = 84.7951202779497
x57=44.8915342647969x_{57} = 44.8915342647969
x58=63.0295279071391x_{58} = 63.0295279071391
x59=−27.6604403045718x_{59} = -27.6604403045718
x60=35.8225374436258x_{60} = 35.8225374436258
x61=59.4019291786706x_{61} = 59.4019291786706
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (cos(x*sqrt(3)) + sin(x*sqrt(3)))*exp(-x).
(sin⁡(03)+cos⁡(03))e−0\left(\sin{\left(0 \sqrt{3} \right)} + \cos{\left(0 \sqrt{3} \right)}\right) e^{- 0}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−3sin⁡(3x)+3cos⁡(3x))e−x−(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−x=0\left(- \sqrt{3} \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} - \left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23atan⁡(2+3+2+6)3x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}
x2=−23atan⁡(−6−2+3+2)3x_{2} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                                    ___     /      ___     ___     ___\ 
                                                                                                                                2*\/ 3 *atan\2 + \/ 2  + \/ 3  + \/ 6 / 
      ___     /      ___     ___     ___\                                                                                       --------------------------------------- 
 -2*\/ 3 *atan\2 + \/ 2  + \/ 3  + \/ 6 /  /     /      /      ___     ___     ___\\      /      /      ___     ___     ___\\\                     3                    
(----------------------------------------, \- sin\2*atan\2 + \/ 2  + \/ 3  + \/ 6 // + cos\2*atan\2 + \/ 2  + \/ 3  + \/ 6 ///*e                                       )
                    3                                                                                                                                                   

                                                                                                                                    ___     /      ___     ___     ___\ 
                                                                                                                                2*\/ 3 *atan\2 + \/ 3  - \/ 2  - \/ 6 / 
      ___     /      ___     ___     ___\                                                                                       --------------------------------------- 
 -2*\/ 3 *atan\2 + \/ 3  - \/ 2  - \/ 6 /  /     /      /      ___     ___     ___\\      /      /      ___     ___     ___\\\                     3                    
(----------------------------------------, \- sin\2*atan\2 + \/ 3  - \/ 2  - \/ 6 // + cos\2*atan\2 + \/ 3  - \/ 2  - \/ 6 ///*e                                       )
                    3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−23atan⁡(2+3+2+6)3x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−23atan⁡(−6−2+3+2)3x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}
Decrece en los intervalos
[−23atan⁡(2+3+2+6)3,−23atan⁡(−6−2+3+2)3]\left[- \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−23atan⁡(2+3+2+6)3]∪[−23atan⁡(−6−2+3+2)3,∞)\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \right)}}{3}\right] \cup \left[- \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 \right)}}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3(sin⁡(3x)−cos⁡(3x))−sin⁡(3x)−cos⁡(3x))e−x=02 \left(\sqrt{3} \left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} - \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) - \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} - \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=23atan⁡(−6−2+2+3)3x_{1} = \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)}}{3}
x2=−23atan⁡(−6−3+2+2)3x_{2} = - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 \right)}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,23atan⁡(−6−2+2+3)3]∪[−23atan⁡(−6−3+2+2)3,∞)\left(-\infty, \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)}}{3}\right] \cup \left[- \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 \right)}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[23atan⁡(−6−2+2+3)3,−23atan⁡(−6−3+2+2)3]\left[\frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - 2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 \right)}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞((sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (cos(x*sqrt(3)) + sin(x*sqrt(3)))*exp(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−xx)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
lim⁡x→∞((sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−x=(−sin⁡(3x)+cos⁡(3x))ex\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = \left(- \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{x}
- No
(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))e−x=−(−sin⁡(3x)+cos⁡(3x))ex\left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{- x} = - \left(- \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (cos(x*sqrt(3))+sin(x*sqrt(3)))*exp(-x)
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