Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg((1/sqrt(2))*(sin(x)-cos(x)))

Gráfico de la función y = arctg((1/sqrt(2))*(sin(x)-cos(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /sin(x) - cos(x)\
f(x) = atan|---------------|
           |       ___     |
           \     \/ 2      /
f(x)=atan⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} 
f = atan((sin(x) - cos(x))/sqrt(2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=0.785398163397448x_{1} = 0.785398163397448
x2=−21.2057504117311x_{2} = -21.2057504117311
x3=−55.7632696012188x_{3} = -55.7632696012188
x4=76.1836218495525x_{4} = 76.1836218495525
x5=41.6261026600648x_{5} = 41.6261026600648
x6=−43.1968989868597x_{6} = -43.1968989868597
x7=−62.0464549083984x_{7} = -62.0464549083984
x8=−49.4800842940392x_{8} = -49.4800842940392
x9=51.0508806208341x_{9} = 51.0508806208341
x10=101.316363078271x_{10} = 101.316363078271
x11=79.3252145031423x_{11} = 79.3252145031423
x12=−52.621676947629x_{12} = -52.621676947629
x13=19.6349540849362x_{13} = 19.6349540849362
x14=−36.9137136796801x_{14} = -36.9137136796801
x15=3.92699081698724x_{15} = 3.92699081698724
x16=−24.3473430653209x_{16} = -24.3473430653209
x17=35.3429173528852x_{17} = 35.3429173528852
x18=82.4668071567321x_{18} = 82.4668071567321
x19=−46.3384916404494x_{19} = -46.3384916404494
x20=60.4756585816035x_{20} = 60.4756585816035
x21=−27.4889357189107x_{21} = -27.4889357189107
x22=69.9004365423729x_{22} = 69.9004365423729
x23=−74.6128255227576x_{23} = -74.6128255227576
x24=32.2013246992954x_{24} = 32.2013246992954
x25=29.0597320457056x_{25} = 29.0597320457056
x26=−2.35619449019234x_{26} = -2.35619449019234
x27=−90.3207887907066x_{27} = -90.3207887907066
x28=88.7499924639117x_{28} = 88.7499924639117
x29=−93.4623814442964x_{29} = -93.4623814442964
x30=−87.1791961371168x_{30} = -87.1791961371168
x31=47.9092879672443x_{31} = 47.9092879672443
x32=−77.7544181763474x_{32} = -77.7544181763474
x33=−99.7455667514759x_{33} = -99.7455667514759
x34=73.0420291959627x_{34} = 73.0420291959627
x35=95.0331777710912x_{35} = 95.0331777710912
x36=54.1924732744239x_{36} = 54.1924732744239
x37=38.484510006475x_{37} = 38.484510006475
x38=−65.1880475619882x_{38} = -65.1880475619882
x39=−96.6039740978861x_{39} = -96.6039740978861
x40=66.7588438887831x_{40} = 66.7588438887831
x41=−5.49778714378214x_{41} = -5.49778714378214
x42=−80.8960108299372x_{42} = -80.8960108299372
x43=−68.329640215578x_{43} = -68.329640215578
x44=57.3340659280137x_{44} = 57.3340659280137
x45=7.06858347057703x_{45} = 7.06858347057703
x46=85.6083998103219x_{46} = 85.6083998103219
x47=−11.7809724509617x_{47} = -11.7809724509617
x48=−71.4712328691678x_{48} = -71.4712328691678
x49=−8.63937979737193x_{49} = -8.63937979737193
x50=16.4933614313464x_{50} = 16.4933614313464
x51=98.174770424681x_{51} = 98.174770424681
x52=44.7676953136546x_{52} = 44.7676953136546
x53=−40.0553063332699x_{53} = -40.0553063332699
x54=22.776546738526x_{54} = 22.776546738526
x55=−14.9225651045515x_{55} = -14.9225651045515
x56=−30.6305283725005x_{56} = -30.6305283725005
x57=63.6172512351933x_{57} = 63.6172512351933
x58=−58.9048622548086x_{58} = -58.9048622548086
x59=91.8915851175014x_{59} = 91.8915851175014
x60=25.9181393921158x_{60} = 25.9181393921158
x61=−84.037603483527x_{61} = -84.037603483527
x62=−18.0641577581413x_{62} = -18.0641577581413
x63=−33.7721210260903x_{63} = -33.7721210260903
x64=10.2101761241668x_{64} = 10.2101761241668
x65=13.3517687777566x_{65} = 13.3517687777566
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan((sin(x) - cos(x))/sqrt(2)).
atan⁡(−cos⁡(0)+sin⁡(0)2)\operatorname{atan}{\left(\frac{- \cos{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \right)}}{\sqrt{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=−atan⁡(22)f{\left(0 \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
Punto:
(0, -atan(sqrt(2)/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(sin⁡(x)+cos⁡(x))2((sin⁡(x)−cos⁡(x))22+1)=0\frac{\sqrt{2} \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{2 \left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{2} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
            /        ___\ 
 -pi        |  ___ \/ 2 | 
(----, -atan|\/ 2 *-----|)
  4         \        2  / 

           /        ___\ 
 3*pi      |  ___ \/ 2 | 
(----, atan|\/ 2 *-----|)
  4        \        2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=3π4x_{1} = \frac{3 \pi}{4}
Decrece en los intervalos
[−π4,3π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]∪[3π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(1+2(sin⁡(x)+cos⁡(x))2(sin⁡(x)−cos⁡(x))2+2)(sin⁡(x)−cos⁡(x))(sin⁡(x)−cos⁡(x))2+2=0- \frac{\sqrt{2} \left(1 + \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} + 2}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−3π4,π4]\left[- \frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−3π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)=atan⁡(2⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=atan⁡(2⟨−1,1⟩)y = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞atan⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)=atan⁡(2⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=atan⁡(2⟨−1,1⟩)y = \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((sin(x) - cos(x))/sqrt(2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)=−atan⁡(−22(−sin⁡(x)−cos⁡(x)))\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \right)}
- No
atan⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)=atan⁡(−22(−sin⁡(x)−cos⁡(x)))\operatorname{atan}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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