Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
3/(x^2+1)
-
Expresiones idénticas
- e^(-t)*cos(2t)+3e^(-t)*sin(2t)
- e en el grado ( menos t) multiplicar por coseno de (2t) más 3e en el grado ( menos t) multiplicar por seno de (2t)
- e(-t)*cos(2t)+3e(-t)*sin(2t)
- e-t*cos2t+3e-t*sin2t
- e^(-t)cos(2t)+3e^(-t)sin(2t)
- e(-t)cos(2t)+3e(-t)sin(2t)
- e-tcos2t+3e-tsin2t
- e^-tcos2t+3e^-tsin2t
-
Expresiones semejantes
- e^(-t)*cos(2t)+3e^(t)*sin(2t)
- e^(t)*cos(2t)+3e^(-t)*sin(2t)
- e^(-t)*cos(2t)-3e^(-t)*sin(2t)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)+exp(x)+exp(-x)+sin(x)
- cos(x)-3
- cos(x)*4*x
- cos(x)/8+cos(3*x)+sin(3*x)
- cos(x)+1/cos(x)
- Seno sin
- sin(x)+x
- sin(x)*sin(3*x)
- sin(x)/sin(x+pi/4)
- sinx+cos^2x
- sin(x)*cos(x)^(2)
Gráfico de la función y = e^(-t)*cos(2t)+3e^(-t)*sin(2t)
Solución
Ha introducido
[src]
-t -t f(t) = E *cos(2*t) + 3*E *sin(2*t)
$$f{\left(t \right)} = 3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)}$$
f = (3*E^(-t))*sin(2*t) + E^(-t)*cos(2*t)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = -23.7228201791218$$
$$t_{2} = 94.0869043304955$$
$$t_{3} = 26.5426622783149$$
$$t_{4} = 4.55151370318637$$
$$t_{5} = 86.232922696521$$
$$t_{6} = 24.97186595152$$
$$t_{7} = 12.4054953371609$$
$$t_{8} = 95.6577006572904$$
$$t_{9} = -17.4396348719422$$
$$t_{10} = 34.3966439122894$$
$$t_{11} = -25.2936165059167$$
$$t_{12} = 90.9453116769057$$
$$t_{13} = 65.8125704481873$$
$$t_{14} = 51.6754035070333$$
$$t_{15} = 2.98071737639147$$
$$t_{16} = 18.6886806443404$$
$$t_{17} = -22.1520238523269$$
$$t_{18} = 78.3789410625465$$
$$t_{19} = -1.73167160399322$$
$$t_{20} = 56.387792487418$$
$$t_{21} = 21.8302732979302$$
$$t_{22} = 50.1046071802384$$
$$t_{23} = 35.9674402390843$$
$$t_{24} = 48.5338108534435$$
$$t_{25} = 68.9541631017771$$
$$t_{26} = 79.9497373893414$$
$$t_{27} = -30.0060054863014$$
$$t_{28} = 46.9630145266486$$
$$t_{29} = -8.0148569111728$$
$$t_{30} = 6.12231002998127$$
$$t_{31} = 10.834699010366$$
$$t_{32} = 40.679829219469$$
$$t_{33} = 92.5161080037006$$
$$t_{34} = 110.460422077029$$
$$t_{35} = 76.8081447357516$$
$$t_{36} = -14.2980422183524$$
$$t_{37} = 64.2417741213924$$
$$t_{38} = 20.2594769711353$$
$$t_{39} = 7.69310635677616$$
$$t_{40} = 32.8258475854945$$
$$t_{41} = 43.8214218730588$$
$$t_{42} = -9.5856532379677$$
$$t_{43} = 42.2506255462639$$
$$t_{44} = -15.8688385451473$$
$$t_{45} = -11.1564495647626$$
$$t_{46} = 54.8169961606231$$
$$t_{47} = 72.0957557553669$$
$$t_{48} = 73.6665520821618$$
$$t_{49} = 98.7992933108802$$
$$t_{50} = -3.30246793078811$$
$$t_{51} = 45.3922181998537$$
$$t_{52} = 70.524959428572$$
$$t_{53} = 28.1134586051098$$
$$t_{54} = 87.8037190233159$$
$$t_{55} = 84.6621263697261$$
$$t_{56} = -0.160875277198321$$
$$t_{57} = 13.9762916639557$$
$$t_{58} = 100.370089637675$$
$$t_{59} = 29.6842549319047$$
$$t_{60} = 57.9585888142129$$
$$t_{61} = 62.6709777945975$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = -23.7228201791218$$
$$t_{2} = 94.0869043304955$$
$$t_{3} = 26.5426622783149$$
$$t_{4} = 4.55151370318637$$
$$t_{5} = 86.232922696521$$
$$t_{6} = 24.97186595152$$
$$t_{7} = 12.4054953371609$$
$$t_{8} = 95.6577006572904$$
$$t_{9} = -17.4396348719422$$
$$t_{10} = 34.3966439122894$$
$$t_{11} = -25.2936165059167$$
$$t_{12} = 90.9453116769057$$
$$t_{13} = 65.8125704481873$$
$$t_{14} = 51.6754035070333$$
$$t_{15} = 2.98071737639147$$
$$t_{16} = 18.6886806443404$$
$$t_{17} = -22.1520238523269$$
$$t_{18} = 78.3789410625465$$
$$t_{19} = -1.73167160399322$$
$$t_{20} = 56.387792487418$$
$$t_{21} = 21.8302732979302$$
$$t_{22} = 50.1046071802384$$
$$t_{23} = 35.9674402390843$$
$$t_{24} = 48.5338108534435$$
$$t_{25} = 68.9541631017771$$
$$t_{26} = 79.9497373893414$$
$$t_{27} = -30.0060054863014$$
$$t_{28} = 46.9630145266486$$
$$t_{29} = -8.0148569111728$$
$$t_{30} = 6.12231002998127$$
$$t_{31} = 10.834699010366$$
$$t_{32} = 40.679829219469$$
$$t_{33} = 92.5161080037006$$
$$t_{34} = 110.460422077029$$
$$t_{35} = 76.8081447357516$$
$$t_{36} = -14.2980422183524$$
$$t_{37} = 64.2417741213924$$
$$t_{38} = 20.2594769711353$$
$$t_{39} = 7.69310635677616$$
$$t_{40} = 32.8258475854945$$
$$t_{41} = 43.8214218730588$$
$$t_{42} = -9.5856532379677$$
$$t_{43} = 42.2506255462639$$
$$t_{44} = -15.8688385451473$$
$$t_{45} = -11.1564495647626$$
$$t_{46} = 54.8169961606231$$
$$t_{47} = 72.0957557553669$$
$$t_{48} = 73.6665520821618$$
$$t_{49} = 98.7992933108802$$
$$t_{50} = -3.30246793078811$$
$$t_{51} = 45.3922181998537$$
$$t_{52} = 70.524959428572$$
$$t_{53} = 28.1134586051098$$
$$t_{54} = 87.8037190233159$$
$$t_{55} = 84.6621263697261$$
$$t_{56} = -0.160875277198321$$
$$t_{57} = 13.9762916639557$$
$$t_{58} = 100.370089637675$$
$$t_{59} = 29.6842549319047$$
$$t_{60} = 57.9585888142129$$
$$t_{61} = 62.6709777945975$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$- 5 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + 5 e^{- t} \cos{\left(2 t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$- 5 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + 5 e^{- t} \cos{\left(2 t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Signos de extremos en los puntos:
-pi
----
pi ___ 8
(--, 2*\/ 2 *e )
8 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- 5 \left(\sin{\left(2 t \right)} + 3 \cos{\left(2 t \right)}\right) e^{- t} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$- 5 \left(\sin{\left(2 t \right)} + 3 \cos{\left(2 t \right)}\right) e^{- t} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{t \to -\infty}\left(3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(-t)*cos(2*t) + (3*E^(-t))*sin(2*t), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)}}{t}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle t$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)}}{t}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle t$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)} = - 3 e^{t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{t} \cos{\left(2 t \right)}$$
- No
$$3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)} = 3 e^{t} \sin{\left(2 t \right)} - e^{t} \cos{\left(2 t \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)} = - 3 e^{t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{t} \cos{\left(2 t \right)}$$
- No
$$3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)} = 3 e^{t} \sin{\left(2 t \right)} - e^{t} \cos{\left(2 t \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar