Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ e^(-t)*cos(2t)+3e^(-t)*sin(2t)

Gráfico de la función y = e^(-t)*cos(2t)+3e^(-t)*sin(2t)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -t               -t         
f(t) = E  *cos(2*t) + 3*E  *sin(2*t)
f(t)=3e−tsin⁡(2t)+e−tcos⁡(2t)f{\left(t \right)} = 3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)} 
f = (3*E^(-t))*sin(2*t) + E^(-t)*cos(2*t)
Gráfico de la función
055010152025303540452.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3e−tsin⁡(2t)+e−tcos⁡(2t)=03 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución analítica
t1=−atan⁡(13)2t_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{2}
Solución numérica
t1=−23.7228201791218t_{1} = -23.7228201791218
t2=94.0869043304955t_{2} = 94.0869043304955
t3=26.5426622783149t_{3} = 26.5426622783149
t4=4.55151370318637t_{4} = 4.55151370318637
t5=86.232922696521t_{5} = 86.232922696521
t6=24.97186595152t_{6} = 24.97186595152
t7=12.4054953371609t_{7} = 12.4054953371609
t8=95.6577006572904t_{8} = 95.6577006572904
t9=−17.4396348719422t_{9} = -17.4396348719422
t10=34.3966439122894t_{10} = 34.3966439122894
t11=−25.2936165059167t_{11} = -25.2936165059167
t12=90.9453116769057t_{12} = 90.9453116769057
t13=65.8125704481873t_{13} = 65.8125704481873
t14=51.6754035070333t_{14} = 51.6754035070333
t15=2.98071737639147t_{15} = 2.98071737639147
t16=18.6886806443404t_{16} = 18.6886806443404
t17=−22.1520238523269t_{17} = -22.1520238523269
t18=78.3789410625465t_{18} = 78.3789410625465
t19=−1.73167160399322t_{19} = -1.73167160399322
t20=56.387792487418t_{20} = 56.387792487418
t21=21.8302732979302t_{21} = 21.8302732979302
t22=50.1046071802384t_{22} = 50.1046071802384
t23=35.9674402390843t_{23} = 35.9674402390843
t24=48.5338108534435t_{24} = 48.5338108534435
t25=68.9541631017771t_{25} = 68.9541631017771
t26=79.9497373893414t_{26} = 79.9497373893414
t27=−30.0060054863014t_{27} = -30.0060054863014
t28=46.9630145266486t_{28} = 46.9630145266486
t29=−8.0148569111728t_{29} = -8.0148569111728
t30=6.12231002998127t_{30} = 6.12231002998127
t31=10.834699010366t_{31} = 10.834699010366
t32=40.679829219469t_{32} = 40.679829219469
t33=92.5161080037006t_{33} = 92.5161080037006
t34=110.460422077029t_{34} = 110.460422077029
t35=76.8081447357516t_{35} = 76.8081447357516
t36=−14.2980422183524t_{36} = -14.2980422183524
t37=64.2417741213924t_{37} = 64.2417741213924
t38=20.2594769711353t_{38} = 20.2594769711353
t39=7.69310635677616t_{39} = 7.69310635677616
t40=32.8258475854945t_{40} = 32.8258475854945
t41=43.8214218730588t_{41} = 43.8214218730588
t42=−9.5856532379677t_{42} = -9.5856532379677
t43=42.2506255462639t_{43} = 42.2506255462639
t44=−15.8688385451473t_{44} = -15.8688385451473
t45=−11.1564495647626t_{45} = -11.1564495647626
t46=54.8169961606231t_{46} = 54.8169961606231
t47=72.0957557553669t_{47} = 72.0957557553669
t48=73.6665520821618t_{48} = 73.6665520821618
t49=98.7992933108802t_{49} = 98.7992933108802
t50=−3.30246793078811t_{50} = -3.30246793078811
t51=45.3922181998537t_{51} = 45.3922181998537
t52=70.524959428572t_{52} = 70.524959428572
t53=28.1134586051098t_{53} = 28.1134586051098
t54=87.8037190233159t_{54} = 87.8037190233159
t55=84.6621263697261t_{55} = 84.6621263697261
t56=−0.160875277198321t_{56} = -0.160875277198321
t57=13.9762916639557t_{57} = 13.9762916639557
t58=100.370089637675t_{58} = 100.370089637675
t59=29.6842549319047t_{59} = 29.6842549319047
t60=57.9585888142129t_{60} = 57.9585888142129
t61=62.6709777945975t_{61} = 62.6709777945975
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en E^(-t)*cos(2*t) + (3*E^(-t))*sin(2*t).
3e−0sin⁡(0⋅2)+e−0cos⁡(0⋅2)3 e^{- 0} \sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + e^{- 0} \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
−5e−tsin⁡(2t)+5e−tcos⁡(2t)=0- 5 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + 5 e^{- t} \cos{\left(2 t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=π8t_{1} = \frac{\pi}{8}
Signos de extremos en los puntos:
              -pi  
              ---- 
 pi      ___   8   
(--, 2*\/ 2 *e    )
 8


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
t1=π8t_{1} = \frac{\pi}{8}
Decrece en los intervalos
(−∞,π8]\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right]
Crece en los intervalos
[π8,∞)\left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
−5(sin⁡(2t)+3cos⁡(2t))e−t=0- 5 \left(\sin{\left(2 t \right)} + 3 \cos{\left(2 t \right)}\right) e^{- t} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=−atan⁡(3)2t_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(3)2]\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(3)2,∞)\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞(3e−tsin⁡(2t)+e−tcos⁡(2t))=⟨−∞,∞⟩\lim_{t \to -\infty}\left(3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡t→∞(3e−tsin⁡(2t)+e−tcos⁡(2t))=0\lim_{t \to \infty}\left(3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(-t)*cos(2*t) + (3*E^(-t))*sin(2*t), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
lim⁡t→−∞(3e−tsin⁡(2t)+e−tcos⁡(2t)t)=⟨−∞,∞⟩\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)}}{t}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩ty = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle t
lim⁡t→∞(3e−tsin⁡(2t)+e−tcos⁡(2t)t)=0\lim_{t \to \infty}\left(\frac{3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
3e−tsin⁡(2t)+e−tcos⁡(2t)=−3etsin⁡(2t)+etcos⁡(2t)3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)} = - 3 e^{t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{t} \cos{\left(2 t \right)}
- No
3e−tsin⁡(2t)+e−tcos⁡(2t)=3etsin⁡(2t)−etcos⁡(2t)3 e^{- t} \sin{\left(2 t \right)} + e^{- t} \cos{\left(2 t \right)} = 3 e^{t} \sin{\left(2 t \right)} - e^{t} \cos{\left(2 t \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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