Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x)/(1+cos(x)+sin(x))

Gráfico de la función y = cos(x)/(1+cos(x)+sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              cos(x)      
f(x) = -------------------
       1 + cos(x) + sin(x)
f(x)=cos⁡(x)(cos⁡(x)+1)+sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}} 
f = cos(x)/(cos(x) + 1 + sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1.5707963267949x_{1} = -1.5707963267949
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)(cos⁡(x)+1)+sin⁡(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=−86.3937979737193x_{1} = -86.3937979737193
x2=1.5707963267949x_{2} = 1.5707963267949
x3=−54.9778714378214x_{3} = -54.9778714378214
x4=102.101761241668x_{4} = 102.101761241668
x5=89.5353906273091x_{5} = 89.5353906273091
x6=32.9867228626928x_{6} = 32.9867228626928
x7=−17.2787595947439x_{7} = -17.2787595947439
x8=45.553093477052x_{8} = 45.553093477052
x9=64.4026493985908x_{9} = 64.4026493985908
x10=83.2522053201295x_{10} = 83.2522053201295
x11=−29.845130209103x_{11} = -29.845130209103
x12=−92.6769832808989x_{12} = -92.6769832808989
x13=70.6858347057703x_{13} = 70.6858347057703
x14=−48.6946861306418x_{14} = -48.6946861306418
x15=−42.4115008234622x_{15} = -42.4115008234622
x16=−67.5442420521806x_{16} = -67.5442420521806
x17=−23.5619449019235x_{17} = -23.5619449019235
x18=20.4203522483337x_{18} = 20.4203522483337
x19=−61.261056745001x_{19} = -61.261056745001
x20=−10.9955742875643x_{20} = -10.9955742875643
x21=−36.1283155162826x_{21} = -36.1283155162826
x22=14.1371669411541x_{22} = 14.1371669411541
x23=51.8362787842316x_{23} = 51.8362787842316
x24=39.2699081698724x_{24} = 39.2699081698724
x25=−4.71238898038469x_{25} = -4.71238898038469
x26=95.8185759344887x_{26} = 95.8185759344887
x27=76.9690200129499x_{27} = 76.9690200129499
x28=58.1194640914112x_{28} = 58.1194640914112
x29=−80.1106126665397x_{29} = -80.1106126665397
x30=−73.8274273593601x_{30} = -73.8274273593601
x31=7.85398163397448x_{31} = 7.85398163397448
x32=26.7035375555132x_{32} = 26.7035375555132
x33=−98.9601685880785x_{33} = -98.9601685880785
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)/(1 + cos(x) + sin(x)).
cos⁡(0)sin⁡(0)+(1+cos⁡(0))\frac{\cos{\left(0 \right)}}{\sin{\left(0 \right)} + \left(1 + \cos{\left(0 \right)}\right)}
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)(cos⁡(x)+1)+sin⁡(x)+(sin⁡(x)−cos⁡(x))cos⁡(x)((cos⁡(x)+1)+sin⁡(x))2=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(sin⁡(x)−cos⁡(x))sin⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)+1+(2(sin⁡(x)−cos⁡(x))2sin⁡(x)+cos⁡(x)+1+sin⁡(x)+cos⁡(x))cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)+1−cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)+1=0\frac{- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} + \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1.5707963267949x_{1} = -1.5707963267949

lim⁡x→−1.5707963267949−(−2(sin⁡(x)−cos⁡(x))sin⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)+1+(2(sin⁡(x)−cos⁡(x))2sin⁡(x)+cos⁡(x)+1+sin⁡(x)+cos⁡(x))cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)+1−cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)+1)=6.53249574127815⋅1016\lim_{x \to -1.5707963267949^-}\left(\frac{- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} + \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1}\right) = 6.53249574127815 \cdot 10^{16}
lim⁡x→−1.5707963267949+(−2(sin⁡(x)−cos⁡(x))sin⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)+1+(2(sin⁡(x)−cos⁡(x))2sin⁡(x)+cos⁡(x)+1+sin⁡(x)+cos⁡(x))cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)+1−cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)+1)=∞\lim_{x \to -1.5707963267949^+}\left(\frac{- \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} + \frac{\left(\frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} + \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1} - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1.5707963267949x_{1} = -1.5707963267949
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1.5707963267949x_{1} = -1.5707963267949
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(cos⁡(x)(cos⁡(x)+1)+sin⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(cos⁡(x)(cos⁡(x)+1)+sin⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)/(1 + cos(x) + sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cos⁡(x)x((cos⁡(x)+1)+sin⁡(x)))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cos⁡(x)x((cos⁡(x)+1)+sin⁡(x)))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)(cos⁡(x)+1)+sin⁡(x)=cos⁡(x)−sin⁡(x)+cos⁡(x)+1\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1}
- No
cos⁡(x)(cos⁡(x)+1)+sin⁡(x)=−cos⁡(x)−sin⁡(x)+cos⁡(x)+1\frac{\cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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