Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- e^{x} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \cos{\left(x \right)}} - e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.854979870468268$$
$$x_{2} = -4.90720039323913$$
$$x_{3} = -0.854979870468268$$
$$x_{4} = 4.90720039323913$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^-}\left(- e^{x} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \cos{\left(x \right)}} - e^{- x}\right) = 4.35569470311033 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^+}\left(- e^{x} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \cos{\left(x \right)}} - e^{- x}\right) = 4.35569470311033 \cdot 10^{48}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^-}\left(- e^{x} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \cos{\left(x \right)}} - e^{- x}\right) = -1.61322026041123 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^+}\left(- e^{x} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \cos{\left(x \right)}} - e^{- x}\right) = -1.61322026041123 \cdot 10^{47}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-4.90720039323913, -0.854979870468268\right] \cup \left[0.854979870468268, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -4.90720039323913\right]$$