Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ -sqrt(3)*sqrt(3-atan(x*sqrt(3)/3)^2-2*sqrt(3)*atan(x*sqrt(3)/3))/3

Gráfico de la función y = -sqrt(3)*sqrt(3-atan(x*sqrt(3)/3)^2-2*sqrt(3)*atan(x*sqrt(3)/3))/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   ____________________________________________
                  /          /    ___\               /    ___\ 
          ___    /          2|x*\/ 3 |       ___     |x*\/ 3 | 
       -\/ 3 *  /   3 - atan |-------| - 2*\/ 3 *atan|-------| 
              \/             \   3   /               \   3   / 
f(x) = --------------------------------------------------------
                                  3
f(x)=−3(3−atan⁡2(3x3))−23atan⁡(3x3)3f{\left(x \right)} = \frac{- \sqrt{3} \sqrt{\left(3 - \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}\right) - 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}}{3} 
f = ((-sqrt(3))*sqrt(3 - atan((sqrt(3)*x)/3)^2 - 2*sqrt(3)*atan((sqrt(3)*x)/3)))/3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−3(3−atan⁡2(3x3))−23atan⁡(3x3)3=0\frac{- \sqrt{3} \sqrt{\left(3 - \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}\right) - 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3tan⁡(−6+3)x_{1} = - \sqrt{3} \tan{\left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} \right)}
Solución numérica
x1=1.51129553889808x_{1} = 1.51129553889808
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((-sqrt(3))*sqrt(3 - atan((x*sqrt(3))/3)^2 - 2*sqrt(3)*atan((x*sqrt(3))/3)))/3.
−3−23atan⁡(033)+(3−atan⁡2(033))3\frac{- \sqrt{3} \sqrt{- 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{3} \right)} + \left(3 - \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{0 \sqrt{3}}{3} \right)}\right)}}{3}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3(−3atan⁡(3x3)3(x23+1)−1x23+1)3(3−atan⁡2(3x3))−23atan⁡(3x3)=0- \frac{\sqrt{3} \left(- \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3 \left(\frac{x^{2}}{3} + 1\right)} - \frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 1}\right)}{3 \sqrt{\left(3 - \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}\right) - 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3(23xatan⁡(3x3)+6x+(3atan⁡(3x3)+3)2atan⁡2(3x3)+23atan⁡(3x3)−3−3)3(x2+3)2−atan⁡2(3x3)−23atan⁡(3x3)+3=0- \frac{\sqrt{3} \left(2 \sqrt{3} x \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} + 6 x + \frac{\left(\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} + 3\right)^{2}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} + 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} - 3} - 3\right)}{3 \left(x^{2} + 3\right)^{2} \sqrt{- \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} - 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} + 3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−30183.0435301342x_{1} = -30183.0435301342
x2=−18462.0958772308x_{2} = -18462.0958772308
x3=−38600.7697522318x_{3} = -38600.7697522318
x4=17746.1975364383x_{4} = 17746.1975364383
x5=−15141.4620796556x_{5} = -15141.4620796556
x6=−12666.6649397869x_{6} = -12666.6649397869
x7=19440.0199208507x_{7} = 19440.0199208507
x8=40622.4100279314x_{8} = 40622.4100279314
x9=33843.0128210079x_{9} = 33843.0128210079
x10=−26823.9690400929x_{10} = -26823.9690400929
x11=24522.6075355545x_{11} = 24522.6075355545
x12=−32705.7976086303x_{12} = -32705.7976086303
x13=−9399.98253085019x_{13} = -9399.98253085019
x14=16052.6564975964x_{14} = 16052.6564975964
x15=34690.4072835136x_{15} = 34690.4072835136
x16=38080.0770530179x_{16} = 38080.0770530179
x17=38927.5145203475x_{17} = 38927.5145203475
x18=−7788.4338979699x_{18} = -7788.4338979699
x19=−20128.8614454172x_{19} = -20128.8614454172
x20=−20963.5167706949x_{20} = -20963.5167706949
x21=26217.059148124x_{21} = 26217.059148124
x22=13513.0926670061x_{22} = 13513.0926670061
x23=20287.0153012069x_{23} = 20287.0153012069
x24=39774.9589892211x_{24} = 39774.9589892211
x25=29606.2170452632x_{25} = 29606.2170452632
x26=−13489.7313743569x_{26} = -13489.7313743569
x27=−23471.7318818813x_{27} = -23471.7318818813
x28=−35230.9228666693x_{28} = -35230.9228666693
x29=14359.4918254038x_{29} = 14359.4918254038
x30=21134.0580831945x_{30} = 21134.0580831945
x31=35537.8115843361x_{31} = 35537.8115843361
x32=28758.9003255232x_{32} = 28758.9003255232
x33=23675.4213291976x_{33} = 23675.4213291976
x34=−8591.87469431299x_{34} = -8591.87469431299
x35=30453.5494528504x_{35} = 30453.5494528504
x36=25369.8210018327x_{36} = 25369.8210018327
x37=−29342.7370594453x_{37} = -29342.7370594453
x38=−25985.1875722217x_{38} = -25985.1875722217
x39=−15969.711718174x_{39} = -15969.711718174
x40=−6990.57165588909x_{40} = -6990.57165588909
x41=16899.3867657052x_{41} = 16899.3867657052
x42=−34388.9775382326x_{42} = -34388.9775382326
x43=−10212.0388595268x_{43} = -10212.0388595268
x44=27064.3197098322x_{44} = 27064.3197098322
x45=−22635.0120874887x_{45} = -22635.0120874887
x46=−24309.0304235114x_{46} = -24309.0304235114
x47=−11845.8048156371x_{47} = -11845.8048156371
x48=−27663.1739094595x_{48} = -27663.1739094595
x49=−28502.7722920858x_{49} = -28502.7722920858
x50=−21798.9215251702x_{50} = -21798.9215251702
x51=−40286.779432927x_{51} = -40286.779432927
x52=27911.6006909721x_{52} = 27911.6006909721
x53=−31864.5935015747x_{53} = -31864.5935015747
x54=−33547.2642462967x_{54} = -33547.2642462967
x55=−11027.4684848308x_{55} = -11027.4684848308
x56=42317.3302584254x_{56} = 42317.3302584254
x57=−19295.0273579172x_{57} = -19295.0273579172
x58=−17630.1595949904x_{58} = -17630.1595949904
x59=−37758.021293181x_{59} = -37758.021293181
x60=−14314.7384634183x_{60} = -14314.7384634183
x61=−36915.4567330555x_{61} = -36915.4567330555
x62=41469.8672395353x_{62} = 41469.8672395353
x63=−36073.086749763x_{63} = -36073.086749763
x64=15206.0195996866x_{64} = 15206.0195996866
x65=−16799.3243508041x_{65} = -16799.3243508041
x66=−25146.8625158217x_{66} = -25146.8625158217
x67=32148.2564642516x_{67} = 32148.2564642516
x68=−6199.46531994953x_{68} = -6199.46531994953
x69=18593.0781977788x_{69} = 18593.0781977788
x70=32995.6289409124x_{70} = 32995.6289409124
x71=36385.2250475132x_{71} = 36385.2250475132
x72=31300.8962991807x_{72} = 31300.8962991807
x73=−39443.6922014273x_{73} = -39443.6922014273
x74=−5416.66883385806x_{74} = -5416.66883385806
x75=21981.1429458284x_{75} = 21981.1429458284
x76=−31023.6691989954x_{76} = -31023.6691989954
x77=22828.2653347621x_{77} = 22828.2653347621
x78=37232.6470575937x_{78} = 37232.6470575937

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−3(3−atan⁡2(3x3))−23atan⁡(3x3)3)=−23−π2+12+43π\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{3} \sqrt{\left(3 - \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}\right) - 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}}{3}\right) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{- \pi^{2} + 12 + 4 \sqrt{3} \pi}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−23−π2+12+43πy = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{- \pi^{2} + 12 + 4 \sqrt{3} \pi}}
lim⁡x→∞(−3(3−atan⁡2(3x3))−23atan⁡(3x3)3)=−23−43π−π2+12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{3} \sqrt{\left(3 - \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}\right) - 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}}{3}\right) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{- 4 \sqrt{3} \pi - \pi^{2} + 12}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−23−43π−π2+12y = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{- 4 \sqrt{3} \pi - \pi^{2} + 12}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((-sqrt(3))*sqrt(3 - atan((x*sqrt(3))/3)^2 - 2*sqrt(3)*atan((x*sqrt(3))/3)))/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−3(3−atan⁡2(3x3))−23atan⁡(3x3)3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{\left(3 - \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}\right) - 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}}{3 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−3(3−atan⁡2(3x3))−23atan⁡(3x3)3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{\left(3 - \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}\right) - 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}}{3 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−3(3−atan⁡2(3x3))−23atan⁡(3x3)3=−3−atan⁡2(3x3)+23atan⁡(3x3)+33\frac{- \sqrt{3} \sqrt{\left(3 - \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}\right) - 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}}{3} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{- \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} + 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} + 3}}{3}
- No
−3(3−atan⁡2(3x3))−23atan⁡(3x3)3=3−atan⁡2(3x3)+23atan⁡(3x3)+33\frac{- \sqrt{3} \sqrt{\left(3 - \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}\right) - 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}}{3} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{- \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} + 2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} + 3}}{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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