Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(2*x/3)

Gráfico de la función y = sin(2*x/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /2*x\
f(x) = sin|---|
          \ 3 /
f(x)=sin⁡(2x3)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} 
f = sin((2*x)/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(2x3)=0\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=14.1371669411541x_{1} = 14.1371669411541
x2=−18.8495559215388x_{2} = -18.8495559215388
x3=−37.6991118430775x_{3} = -37.6991118430775
x4=89.5353906273091x_{4} = 89.5353906273091
x5=−23.5619449019235x_{5} = -23.5619449019235
x6=−56.5486677646163x_{6} = -56.5486677646163
x7=84.8230016469244x_{7} = 84.8230016469244
x8=61.261056745001x_{8} = 61.261056745001
x9=42.4115008234622x_{9} = 42.4115008234622
x10=−4.71238898038469x_{10} = -4.71238898038469
x11=94.2477796076938x_{11} = 94.2477796076938
x12=0x_{12} = 0
x13=−42.4115008234622x_{13} = -42.4115008234622
x14=−75.398223686155x_{14} = -75.398223686155
x15=51.8362787842316x_{15} = 51.8362787842316
x16=47.1238898038469x_{16} = 47.1238898038469
x17=75.398223686155x_{17} = 75.398223686155
x18=28.2743338823081x_{18} = 28.2743338823081
x19=−80.1106126665397x_{19} = -80.1106126665397
x20=32.9867228626928x_{20} = 32.9867228626928
x21=−98.9601685880785x_{21} = -98.9601685880785
x22=−47.1238898038469x_{22} = -47.1238898038469
x23=−32.9867228626928x_{23} = -32.9867228626928
x24=18.8495559215388x_{24} = 18.8495559215388
x25=−94.2477796076938x_{25} = -94.2477796076938
x26=−61.261056745001x_{26} = -61.261056745001
x27=56.5486677646163x_{27} = 56.5486677646163
x28=−28.2743338823081x_{28} = -28.2743338823081
x29=4.71238898038469x_{29} = 4.71238898038469
x30=−9.42477796076938x_{30} = -9.42477796076938
x31=−2148.84937505542x_{31} = -2148.84937505542
x32=−51.8362787842316x_{32} = -51.8362787842316
x33=23.5619449019235x_{33} = 23.5619449019235
x34=−14.1371669411541x_{34} = -14.1371669411541
x35=98.9601685880785x_{35} = 98.9601685880785
x36=80.1106126665397x_{36} = 80.1106126665397
x37=37.6991118430775x_{37} = 37.6991118430775
x38=70.6858347057703x_{38} = 70.6858347057703
x39=9.42477796076938x_{39} = 9.42477796076938
x40=65.9734457253857x_{40} = 65.9734457253857
x41=−89.5353906273091x_{41} = -89.5353906273091
x42=−70.6858347057703x_{42} = -70.6858347057703
x43=−65.9734457253857x_{43} = -65.9734457253857
x44=−84.8230016469244x_{44} = -84.8230016469244
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin((2*x)/3).
sin⁡(0⋅23)\sin{\left(\frac{0 \cdot 2}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2cos⁡(2x3)3=0\frac{2 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3π4x_{1} = \frac{3 \pi}{4}
x2=9π4x_{2} = \frac{9 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 3*pi    
(----, 1)
  4      

 9*pi     
(----, -1)
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=9π4x_{1} = \frac{9 \pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=3π4x_{1} = \frac{3 \pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,3π4]∪[9π4,∞)\left(-\infty, \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{9 \pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[3π4,9π4]\left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{9 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4sin⁡(2x3)9=0- \frac{4 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[3π2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,3π2]\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(2x3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(2x3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin((2*x)/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(2x3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(2x3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(2x3)=−sin⁡(2x3)\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = - \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}
- No
sin⁡(2x3)=sin⁡(2x3)\sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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