Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x*sqrt(2-x)x-ln(x)

Gráfico de la función y = x*sqrt(2-x)x-ln(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           _______           
f(x) = x*\/ 2 - x *x - log(x)
f(x)=xx2−x−log⁡(x)f{\left(x \right)} = x x \sqrt{2 - x} - \log{\left(x \right)} 
f = x*(x*sqrt(2 - x)) - log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx2−x−log⁡(x)=0x x \sqrt{2 - x} - \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.96946761924428x_{1} = 1.96946761924428
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*sqrt(2 - x))*x - log(x).
−log⁡(0)+0⋅02−0- \log{\left(0 \right)} + 0 \cdot 0 \sqrt{2 - 0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2−x+x(−x22−x+2−x)−1x=0x \sqrt{2 - x} + x \left(- \frac{x}{2 \sqrt{2 - x}} + \sqrt{2 - x}\right) - \frac{1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.545399688667815x_{1} = -0.545399688667815
x2=0.716072057066902x_{2} = 0.716072057066902
x3=1.46307459712162x_{3} = 1.46307459712162
Signos de extremos en los puntos:
(-0.545399688667815, 1.0808145574676 - pi*I)

(0.716072057066902, 0.914984708436529)

(1.46307459712162, 1.18797936595066)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−0.545399688667815x_{1} = -0.545399688667815
x2=0.716072057066902x_{2} = 0.716072057066902
Puntos máximos de la función:
x2=1.46307459712162x_{2} = 1.46307459712162
Decrece en los intervalos
[0.716072057066902,1.46307459712162]\left[0.716072057066902, 1.46307459712162\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−0.545399688667815]\left(-\infty, -0.545399688667815\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xx2−x−log⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x x \sqrt{2 - x} - \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xx2−x−log⁡(x))=∞i\lim_{x \to \infty}\left(x x \sqrt{2 - x} - \log{\left(x \right)}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*sqrt(2 - x))*x - log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xx2−x−log⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x x \sqrt{2 - x} - \log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(xx2−x−log⁡(x)x)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x x \sqrt{2 - x} - \log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx2−x−log⁡(x)=x2x+2−log⁡(−x)x x \sqrt{2 - x} - \log{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{x + 2} - \log{\left(- x \right)}
- No
xx2−x−log⁡(x)=−x2x+2+log⁡(−x)x x \sqrt{2 - x} - \log{\left(x \right)} = - x^{2} \sqrt{x + 2} + \log{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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