Sr Examen

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4*sin(x)+5*cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ 4*sin(x)+5*cos(x)

Gráfico de la función y = 4*sin(x)+5*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 4*sin(x) + 5*cos(x)
f(x)=4sin⁡(x)+5cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} 
f = 4*sin(x) + 5*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4sin⁡(x)+5cos⁡(x)=04 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−atan⁡(54)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}
Solución numérica
x1=−16.6040186525203x_{1} = -16.6040186525203
x2=2.24553726901845x_{2} = 2.24553726901845
x3=83.9269462623531x_{3} = 83.9269462623531
x4=−10.3208333453407x_{4} = -10.3208333453407
x5=90.2101315695327x_{5} = 90.2101315695327
x6=−35.4535745740591x_{6} = -35.4535745740591
x7=5.38712992260824x_{7} = 5.38712992260824
x8=−44.8783525348285x_{8} = -44.8783525348285
x9=14.8119078833776x_{9} = 14.8119078833776
x10=61.9357976872245x_{10} = 61.9357976872245
x11=−26.0287966132897x_{11} = -26.0287966132897
x12=11.6703152297878x_{12} = 11.6703152297878
x13=−7.17924069175093x_{13} = -7.17924069175093
x14=−41.7367598812387x_{14} = -41.7367598812387
x15=99.634909530302x_{15} = 99.634909530302
x16=80.7853536087633x_{16} = 80.7853536087633
x17=58.7942050336347x_{17} = 58.7942050336347
x18=−73.1526864171366x_{18} = -73.1526864171366
x19=33.6614638049164x_{19} = 33.6614638049164
x20=149.900391987739x_{20} = 149.900391987739
x21=17.9535005369674x_{21} = 17.9535005369674
x22=−600.940252220222x_{22} = -600.940252220222
x23=27.3782784977368x_{23} = 27.3782784977368
x24=68.2189829944041x_{24} = 68.2189829944041
x25=−82.577464377906x_{25} = -82.577464377906
x26=21.0950931905572x_{26} = 21.0950931905572
x27=46.2278344192756x_{27} = 46.2278344192756
x28=−66.869501109957x_{28} = -66.869501109957
x29=8.52872257619804x_{29} = 8.52872257619804
x30=−29.1703892668795x_{30} = -29.1703892668795
x31=−79.4358717243162x_{31} = -79.4358717243162
x32=−57.4447231491876x_{32} = -57.4447231491876
x33=−63.7279084563672x_{33} = -63.7279084563672
x34=−51.161537842008x_{34} = -51.161537842008
x35=65.0773903408143x_{35} = 65.0773903408143
x36=−38.5951672276489x_{36} = -38.5951672276489
x37=−85.7190570314958x_{37} = -85.7190570314958
x38=−19.7456113061101x_{38} = -19.7456113061101
x39=−88.8606496850855x_{39} = -88.8606496850855
x40=71.3605756479939x_{40} = 71.3605756479939
x41=30.5198711513266x_{41} = 30.5198711513266
x42=−76.2942790707264x_{42} = -76.2942790707264
x43=77.6437609551735x_{43} = 77.6437609551735
x44=−48.0199451884182x_{44} = -48.0199451884182
x45=−95.1438349922651x_{45} = -95.1438349922651
x46=−22.8872039596999x_{46} = -22.8872039596999
x47=−0.896055384571344x_{47} = -0.896055384571344
x48=256.714542209792x_{48} = 256.714542209792
x49=49.3694270728653x_{49} = 49.3694270728653
x50=−54.3031304955978x_{50} = -54.3031304955978
x51=−92.0022423386753x_{51} = -92.0022423386753
x52=−32.3119819204693x_{52} = -32.3119819204693
x53=43.0862417656858x_{53} = 43.0862417656858
x54=93.3517242231225x_{54} = 93.3517242231225
x55=−60.5863158027774x_{55} = -60.5863158027774
x56=52.5110197264551x_{56} = 52.5110197264551
x57=−70.0110937635468x_{57} = -70.0110937635468
x58=−4.03764803816114x_{58} = -4.03764803816114
x59=24.236685844147x_{59} = 24.236685844147
x60=55.6526123800449x_{60} = 55.6526123800449
x61=−13.4624259989305x_{61} = -13.4624259989305
x62=36.8030564585062x_{62} = 36.8030564585062
x63=39.944649112096x_{63} = 39.944649112096
x64=87.0685389159429x_{64} = 87.0685389159429
x65=96.4933168767122x_{65} = 96.4933168767122
x66=74.5021683015837x_{66} = 74.5021683015837
x67=−98.2854276458549x_{67} = -98.2854276458549
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*sin(x) + 5*cos(x).
4sin⁡(0)+5cos⁡(0)4 \sin{\left(0 \right)} + 5 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−5sin⁡(x)+4cos⁡(x)=0- 5 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(45)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
              ____ 
(atan(4/5), \/ 41 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(45)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(45)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(45),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{5} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(4sin⁡(x)+5cos⁡(x))=0- (4 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(54)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(54)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(54),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{4} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4sin⁡(x)+5cos⁡(x))=⟨−9,9⟩\lim_{x \to -\infty}\left(4 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -9, 9\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−9,9⟩y = \left\langle -9, 9\right\rangle
lim⁡x→∞(4sin⁡(x)+5cos⁡(x))=⟨−9,9⟩\lim_{x \to \infty}\left(4 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -9, 9\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−9,9⟩y = \left\langle -9, 9\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*sin(x) + 5*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4sin⁡(x)+5cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4sin⁡(x)+5cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4sin⁡(x)+5cos⁡(x)=−4sin⁡(x)+5cos⁡(x)4 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} = - 4 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}
- No
4sin⁡(x)+5cos⁡(x)=4sin⁡(x)−5cos⁡(x)4 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)} - 5 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 4*sin(x)+5*cos(x)
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